Sanggar Matematika: Pengujian Hipotesis Sehubungan Dengan Analisis Regresi Linier Sed

Pengujian
Hipotesis Sehubungan Dengan Analisis Regresi Linier Sederhana

Dalam
suatu penelitian dengan menggunakan analisis regresi linier
sederhana, kita ingin mengetahui apakah koefisien regresi linier
berarti atau tidak bila digunakan untuk menduga parameter populasi,
atau apakah koefisien tersebut khususnya koefisien arah regresi
berarti atau tidak bila digunakan untuk menduga nilai-nilai peubah
tak bebas bilamana peubah bebas tertentu diketahui. Dengan demikian
perlu dilakukan pengujian terhadap hipotesis nol H₀ : 
= 0, untuk pengujian tersebut pasangan hipotesis yang akan diuji
adalah:

H₀	:		=	0
H₁	:			0, atau
H₁	:			0 , atau
H₁	:			0

Asumsi
dari pengujian hipotesis diatas adalah galat bersifat acak dengan
nilai rata-rata sama dengan nol dan ragam sama dengan ²,
untuk setiap nilai X yang diberikan oleh peubah tak bebas (Y) dan
berdistribusi normal dengan rata-rata (a + bx) dan ragam sama dengan
²_YX,
dan ragam tersebut dimisalkan sama untuk setiap X, akibatnya ragam
tersebut dapat dinyatakan dengan ²_yang biasa juga disebut
sebagai ragam kekeliruan taksiran.

Dengan
asumsi tersebut diatas maka ragam ²_diduga dengan rata-rata
kuadrat simpangan sekitar regresi, yang biasa juga disebut rata-rata
kuadrat residu.

Jika
pengujian hipotesis tersebut dilakukan dengan menggunakan uji-t, maka
rumus pengujiannya adalah:

t
=

nilai nol yang digunakan tergantung dari yang dihipotesiskan, artinya
jika H_{0 :}
= b₀ berarti rumus uji yang digunakan adalah:

t
=
;

S_b
merupakan akar dua dari ragam koefisien regresi b, atau

S_b
=
,
S²_yx =
,
S_y² =

atau

S_y²
=

S_x²
=
.

Mengingat
banyaknya nilai-nilai yang belum diketahui dan harus dihitung
berdasarkan data pengamatan dari sampel (sampel), maka kebanyakan
orang (peneliti) dalam konsep pengujian tersebut menggunakan uji-F,
dengan memandang bahwa jumlah kuadrat dari semua nilai Y (Y²)
dapat dipecah menjadi tiga sumber variasi yaitu:

Y_i²
= Jumlah kuadrat karena regresi (a) + jumlah kuadrat karena
regresi(ba)
+ jumlah kuadrat residu atau

Pengujian
hipotesis dengan menggunakan uji-F banyak disenangi orang (peneliti)
yang menggunakan analisis regresi, sebab pada pengujian tersebut
biasanya langsung dikaitkan dengan pengujian kelinieran dari
persamaan regresi.

Kriteria
pengujian disesuaikan dengan rumusan hipotesis alternatif
(H₁ ), jika H₁ : 

0, berarti kriteria pengujian adalah terima H₀ jika
F_(1-_/2)

F_hitung 
F_2
dengan derajat bebas (db) sesuai dengan penggunaan uji-F, sedangkan
F_hitung =
.

Hasil-hasil
perhitungan diatas akan lebih sederhana bila ditampilkan dalam bentuk
daftar analisis ragam untuk uji kelinieran dan uji keberartian
koefisien arah regresi, namun tabel tersebut akan disajikan setelah
pembahasan pengujian kelinieran regresi.

Garis
regresi dikatakan linier bila semua _Yxtepat terletak pada suatu
garis lurus, namun kenyataan yang ada titik-titik pengamatan tidak
semua terletak pada suatu garis lurus, bagi peneliti hanya
mengasumsikan saja bahwa persamaan regresi yang diperoleh adalah
linier sehingga langsung menduga parameter yang belum diketahui.

Sebelum
melakukan pengujian tentang kelinieran kita perlu merumuskan
hipotesis nol (H_o ) dan hipotesis alternatif (H₁
); rumusan hipotesis dari oengujian tersebut adalah:

H₀	:	Garis regresinya linier
H₁	:	Garis regresinya tidak linier

Kriteria
pengujian terima H₀ jika F_hitung 
F_{tabel ,} (F_(1-_{)
(k-2),(n-k)} .

Misalkan
kita memiliki data pengamatan yang diperoleh dari sampel (sampel)
acak n dengan k buah nilai x yang berbeda, yaitu X₁, X₂,
. . . X_k, nilai X₁ diulang sebanyak n₁
kali, X₂ diulang sebanyak n₂ kali, nilai X_k
diulang sebanyak k kali. Dengan adanya pengulangan terhadap nilai X
semacam ini, maka jumlah kuadrat residu dipecah menjadi dua bagian
yaitu:

Kekeliruan
eksperimen (galat ekspeimen)
Ukuran
tuna cocok model linier.

Ukuran
tuna cocok model linier inilah yang digunakan dalam menguji
kelinieran regresi. Untuk memudahkan pemahaman tentang pengulangan
nilai X yang sama, biasanya data pengamatan disusun dalam bentuk
daftar sebagai mana daftar berikut ini:

X_i	Y_i	X_i	Y_i
X₁  n1	Y₁₁	X₃  n₃	Y₃₁
.X₁	Y₁₂	X₃	Y₃₂
.		.
X₁	Y_1n1	X₃	Y_3n3
X₂  n₂	Y₂₁	.
X₂	Y₂₂	.
.	.	X_k	Y_k1
.	.	.  n_k
X₂	Y_2n2	X_k	Y_knk

Pengujian
hipotesis tentang kelinieran garis regresi dilakukan dengan
menggunakan uji-F dengan rumus uji:

F
=

Semua
hasil perhitungan diatas akan lebih sederhana bila ditampilkan dalam
bentuk daftar analisis ragam uji kelinieran dan uji keberartian
koefisien arah regresi berikut;

Daftar
Analisis Ragam Untuk Pengujian Dalam Analisis Regresi

Sumber Keragaman	db	JK	KT	F_hitung
Regresi (a)	1
Regresi (ba)	1	Reg=b	S²_reg = JK_reg/db_reg	F= (1)
Residu	n-2	Res=	S²_Res = JK_Resdb_res
Tuna cocok	k-2	JK_Tc = JK_Res- JK_E	S²_Tc= JK_{Tc / k-2}
				F = (2)
Kekeliruan (E)	n-k	JK_E=	S²_E =
Total	n

Contoh;

Dari
pasangan data berikut ini lakukanlah analisis seperlunya dengan
menggunakan analisis regresi linier sederhana.

X	65	50	55	65	55	70	65	70	55	70	50	55
Y	85	74	76	90	85	87	94	98	81	91	76	74

Jawab;

Diagram
pencar dari pasangan data pengamatan diatas adalah;

2.
Analisis Korelasi

Analisis
korelasi membicarakan mengenai keeratan hubungan linier antara dua
peubah katakanlah peubah X dan peubah Y, yang dilambangkan denga r.
Jadi r mengukur sejauh mana titik amatan menggerombol disekitar garis
lurus. Oleh karena itu dengan membuat diagram pencar bagi n pasangan
pengamatan {(xi, yi) ;i = 1, 2, . . . n} yang diperoleh dari sampel
(sampel) acak. Bila pasangan titik-titik amatan menggerombol
mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan positif, berarti ada
hubungan linier positif yang tinggi diantara peubah X dan Y,
sebaliknya bila titik-titik amatan menggerombol mengikuti sebuah
garis lurus dengan kemiringan negatif berarti antara kedua peubah
memiliki hubungan linier yang tinggi.

Korelasi
antara kedua peubah semakin menurun secara numerik dengan semakin
memencarnya atau menjauhnya titik-titik amatan dari suatu garis
lurus. Bilamana titik-titik amatan mengikuti suatu pola yang acak,
maka pasangan titik amatan mempunyai korelasi nol dan disimpulkan
tidak ada hubungan linier diantara peubah X dan Y.

Perlu
diingat bahwa koefisien korelasi antara dua peubah merupakan suatu
ukuran hubungan linier antara kedua peubah tersebut, sehingga bila r
sama dengan nol akan berimplikasi tidak adanya hubungan linier antara
peubah X dan Y, bukan menyimpulkan kedua peubah tersebut tidak
mempunyai hubungan. Jadi bila X dan Y memiliki hubungan kuadratik
yang kuat, kita memperoleh korelasi nol, meskipun jelas ada hubungan
tak linier yang kuat antara kedua peubah tersebut.

Ukuran
hubungan linier antara dua peubah yang paling banyak digunakan adalah
koefisien korelasi momen hasil kali pearson, atau ringkasnya
koefisien korelasi sampel (sampel) dengan menggunakan hasil kali
pearson digunakan rumus:

r
=

Rumus
hasil kali pearson lebih sering digunakan orang dalam melihat
keeratan hubungan linier antara dua peubah karena beberapa hal antara
lain;

Perhitungannya
sederhana sementara besara-besaran yang diperlukan langsung
diperoleh dari pasangan data pengamatan yang diperoleh dari sampel
(sampel).
Sering
terlibat dengan menggunakan data asli sehingga kekeliruan yang
terjadi pada hasil akhir untuk r sangat kecil.
Dari
rumus korelasi hasil kali pearson tanda untuk r positif atau negatif
bisa langsung diketaui.

Nilai
r berkisar diantara -1 dan 1 atau -1 
r 
1, bila r = -1 ini berarti bahwa hubungan linier antara kedua peubah
merupakan hubungan sempurna tidak langsung antara peubah X dan peubah
Y, kondisi seperti ini berarti untuk nilai-nilai amatan X yang besar
berpasangan dengan nilai-nilai amatan Y yang kecil, dan seluruh
pasangan amatan terletak pada suatu garis lurus. Bila r = 1 ini
berarti bahwa hubungan linier antara kedua peubah merupakan hubungan
sempurna secara langsung, dimana pasangan titik-titik amatan terletak
pada suatu garis lurus, dan untuk nilai amatan X yang besar
berpasangan dengan nilai amatan Y yang besar.

Nilai
r = 1 atau r = -1 terjadi bila JKG = 0 keadaan seperti ini terjadi
bilamana semua titik-titik amatan terletak pada garis lurus.
Perhitungan koefisien korelasi antara peubah X dan peubah Y yang
menyatakan ukuran dari keeratan hubungan linier dapat dilihat dari
dua segi yaitu:

Koefisien
korelasi linier harus dihitung untuk menentukan apakah ada korelasi
linier antara peubah X dan peubah Y, jika ada apakah berarti atau
tidak.
Untuk
menentukan keeratan hubungan antara peubah X dan peubah Y.

Mengenai
derajat hubungan linier ini secara verbal sering dipertanyakan,
misalnya dalam bentuk tidak ada atau dapat diabaikan, rendah atau
lemah, cukup tinggi atau kuat, dan sangat tinggi atau sangat kuat.

Untuk
mendapatkan klasifikasi verbal seperti ini tidak ada suatu pegangan
yang merupakan bandrol untuk batas-batas keofisien korelasi r,
melainkan harus ditinjau dari beberapa segi antara lain;

Sifat
atau karakteristik peubah yang sedang dipelajari
Keberartian
koefisien korelasi
Variabilitas
kelompok
Maksud
penggunaan koefisien korelasi

Jadi
tidak ada klasifikasi bahwa korelasi tinggi jika r = 0.8 atau
korelasi rendah bila -0.2 
r 
0.2 yang berlaku untuk semua keadaan. Dengan demikian harus diingat
pula bahwa koefisien korelasi nilainya sangat tergantung pada ukuran
sampel (sampel) n.

Misalnya
koefisien korelasi r = 0.7 yang diperoleh dari sampel (sampel) yang
berukuran n = 50. akan memiliki kelakuan yang berbeda dengan nilai r
= 0.7 yang diperoleh dari sampel (sampel) yang berukuran n = 350.
Untuk meyakinkan hal seperti ini maka nilai r yang diperoleh masih
perlu diuji melalui pengujian hipotesis, dengan menggunakan rumusan
hipotesis berikut:

H₀	: 	=	0	koefisien korelasi populasi tidak berarti
H₁	: 		0	koefisien korelasi populasi berarti.

Bila
nilai r yang diperoleh dikuadratkan (r²) yang biasanya
disebut sebagai koefisien determinasi sampel, maka kita mempunyai
bilangan yang menyatakan proporsi keragaman total nilai-nilai peubah
Y dapat dijelaskan oleh nilai-nilai peubah X melalui hubungan linier
tersebut. Misalnya bila r = 0.7 ini berarti bahwa 0.49 atau 49 %
diantara keragaman total nilai-nilai Y dalam sampel (sampel) dapat
dijelaskan oleh hubungan liniernya dengan nilai-nilai X.

Koefisien
korelasi sampel (sampel) r merupakan sebuah nilai yang dihitung dari
n pasangan pengamatan sampel (sampel). Nilai r yang diperoleh dari
sampel (sampel) acak merupakan dugaan bagi koefisien korelasi
populasi yangh biasanya dilambangkan dengan .
Bila nilai r yang kita peroleh dekat dengan nol kita cenderung
menyimpulkan bahwa 
= 0. Akan tetapi suatu nilai sampel (sampel) r yang mendekati 1 atau
-1 menyarankan kepada kita untuk menyimpulkan bahwa 

0.

Masalahnya
sekarang adalah bagaimana mendapatkan suatu uji yang akan menyatakan
kepada kita kapan nilai r berada cukup jauh dari suatu nilai tertentu
misalnya ₀
untuk menolak hipotesis nol H₀ : 
= ₀ dan menerima hipotesis alternatif H₁ :


₀.

Pengujian
terhadap hipotesis nol yang menyatakan bahwa 
= ₀,
didasarkan pada besaran

yang merupakan nilai suatu peubah acak yang menyebar mendekati
sebaran normal dengan rata-rata (rata-rata) (0.5) ln {(1+ )(1
- )]
dan ragam (varian)
.
Jadi prosedur uji yang digunakan berupa menghitung nilai:

Pasangan
hipotesis yang diuji adalah:

H₀	:		= ₀
H₁	:		 ₀

Kriteria
pengujian adalah terima H₀ jika -z_tabel ≤
z_hitung ≤
z_tabel. Jika H₀ diterima berarti koefisien
korelasi populasi sama dengan apa yang dihipotesiskan,
misalnya ₀
= 0 berarti koefisien korelasi populasi sama dengan 0,
artinya tidak terdapat hubungan yang linier antara peubah X dan
peubah Y.

Alternatif
lain pengujian hipotesis mengenai keberartian koefisien korelasi
populasi dilakukan dengan menggunakan rumus uji berikut;

t
=

, rumusan hipotesis yang digunakan sama seperti rumusan hipotesis
diatas (dengan menggunakan uji-z)

Kriteria
pengujian adalah terima H₀ (hipotesis yang
menyatakan bahwa 
= 0 jika -t_tabel ≤
t_hitung ≤
t_tabel dengan derajat bebas (n - 2). Dalam hal lai H₀
ditolak.

Jika
H₀ ditolak berarti koefisien korelasi yang diperoleh dari
hasil perhitungan melalui pasangan data pengamatan berarti, dengan
memperhitungkan taraf nyata yang dipilih.

Dari
pasangan data berikut ini lakukanlah analisis seperlunya dengan
menggunakan analisis regresi linier sederhana.

X	65	50	55	65	55	70	65	70	55	70	50	55
Y	85	74	76	90	85	87	94	98	81	91	76	74

Jawab;

Diagram
pencar dari pasangan data pengamatan diatas adalah;

2.
Analisis Korelasi

r
=

Rumus
hasil kali pearson lebih sering digunakan orang dalam melihat
keeratan hubungan linier antara dua peubah karena beberapa hal antara
lain;

Perhitungannya
sederhana sementara besara-besaran yang diperlukan langsung
diperoleh dari pasangan data pengamatan yang diperoleh dari sampel
(sampel).
Sering
terlibat dengan menggunakan data asli sehingga kekeliruan yang
terjadi pada hasil akhir untuk r sangat kecil.
Dari
rumus korelasi hasil kali pearson tanda untuk r positif atau negatif
bisa langsung diketaui.

Koefisien
korelasi linier harus dihitung untuk menentukan apakah ada korelasi
linier antara peubah X dan peubah Y, jika ada apakah berarti atau
tidak.
Untuk
menentukan keeratan hubungan antara peubah X dan peubah Y.

Untuk
mendapatkan klasifikasi verbal seperti ini tidak ada suatu pegangan
yang merupakan bandrol untuk batas-batas keofisien korelasi r,
melainkan harus ditinjau dari beberapa segi antara lain;

Sifat
atau karakteristik peubah yang sedang dipelajari
Keberartian
koefisien korelasi
Variabilitas
kelompok
Maksud
penggunaan koefisien korelasi

H₀	: 	=	0	koefisien korelasi populasi tidak berarti
H₁	: 		0	koefisien korelasi populasi berarti.

Pasangan
hipotesis yang diuji adalah:

H₀	:		= ₀
H₁	:		 ₀

Alternatif
lain pengujian hipotesis mengenai keberartian koefisien korelasi
populasi dilakukan dengan menggunakan rumus uji berikut;

t
=

, rumusan hipotesis yang digunakan sama seperti rumusan hipotesis
diatas (dengan menggunakan uji-z)

Kriteria
pengujian adalah terima H₀ (hipotesis yang
menyatakan bahwa 
= 0 jika -t_tabel ≤
t_hitung ≤
t_tabel dengan derajat bebas (n - 2). Dalam hal lai H₀
ditolak.

Jika
H₀ ditolak berarti koefisien korelasi yang diperoleh dari
hasil perhitungan melalui pasangan data pengamatan berarti, dengan
memperhitungkan taraf nyata yang dipilih.

DAFTAR PUSTAKA

Aunuddin,
Budi Susetyo. 1992. Penggunaan Komputer Mikro Untuk Biologi
Lingkungan. Bogor: Pusat Antar Universitas Ilmu Hayat. IPB.

Aunuddin.
1989. Bahan Pengajaran Analisis Data. Bogor: Pusat Antar
Universitas Ilmu Hayat. IPB.

Awat
N. J. , 1995. Metode Statistik dan Ekonometrika.
Yogyakarta: Liberty.

Casella
George, Roger L. Berger. 1990. Statistical Inference.
California: Wadsworth, Inc., Belmont.

Dixon
W. J. , Massey F.J. , 1997 . Pengantar Analisis Statistik.
Alih Bahasa Sri Kustamtini Samiyono. Yogyakarta: Gadjah Mada
University Press.

Draper
Norman, Harry Smith. 1992. Analisis Regresi Terapan Alih
Bahasa Bambang Sumantri. Edisi Kedua. Jakarta: Gramedia Pustaka
Utama.

Hines
William W., Douglas C. Montgomery. 1990. Probabilita dan
Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen Alih Bahasa
Rudiansyah. Edisi Kedua. Jakarta: Universitas Indonesia, UI-Press.

Myers
Raymond H. 1990. Classical and Modern Regression With
Application. Boston: PWS-Kent Publishing Company.

Nasution
Andi Hakim, Barizi. 1976. Metode Statistika Untuk Penarikan
Kesimpulan. Jakarta: Gramedia.

Nasution
Andi Hakim, Abdurrauf Rambe. 1984. Teori Statistika. Jakarta.
Bhratara Karya Aksara.

Rice
John A. 1995. Mathematical Statistics and Data Analysis.
California: Duxbury Press.

Sembiring
R.K. 1995. Analisis Regresi. Bandung: ITB.

Sudjana.
1992 . Metoda Statistika. Edisi ke-5. Bandung: Tarsito.

Vincent
Gaspersz. 1989. Statistika Untuk Ekonomi. Bandung: Armico.

---------------------.
1992. Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan. Jilid 2.
Bandung: Tarsito.

Walpole
Ronal E. , Raymond H. Myers. 1986. Ilmu Peluang dan
Statistika Untuk Insinyur dan Ilmuwan. Alih Bahasa R. K.
Sembiring. Edisi ke-2. Bandung: ITB.

Sanggar Matematika

Selasa, 21 Oktober 2008

Pengujian Hipotesis Sehubungan Dengan Analisis Regresi Linier Sed

Tidak ada komentar:

Posting Komentar