soal latihan ring euklid
1.Dalam ring komutatif dengan unsur satuan, tunjukan bahwa relasi kesekawanan adalah relasi eqivalen.
2.dalam ring euklid tunjukan bahwa setiap dua pembagi sekutu terbesar dari a & b adalah sekawan.
3.tunjukan bahwa yang memaksakan a suatu unit dalam R adalah d(a)=d(1).
4.tunjukan bahwa dalam ring euklid (a,b) dapat diperoleh dari
5.Tunjukan bahwa jika U ideal dari Ring komutatif memuat unit dari R, maka U=R.
6.Tunjukan bahwa unit-unit dari Ring komutatif dengan unsur satuan membentuk grup abelian.
7.Diberikan dua unsur a&b dalam ring euklid R. kelipatan persekutuan terkecil c di R adalah a|c & b|c serta a|x & b|x, x di R, maka c|x.Tunjukan bahwa setiap dua unsur dalam R punya KPK dalam R.
8.R ring euklid, Jika KPK a & b disimbolkan [a,b], maka tunjukan bahwa [a,b]=ab/(a,b).
jawab
1. a ~a sebab ada 1 di R sehingga a=1.a, 1 unit dalam R karena 1.1=1
misal a~b, maka b=u.a, ini berarti ada r di R sehingga ur=1.jadi rb=ru.a=1.a=a.ini berarti b~a.
misal a~b dan b~c, maka b=u1a & c=u2b,maka ada s,t di R sehingga u1.s=1=u2.t,sehingga c=u2b=u2u1a,u2u1 suatu unit dalam R sebab ada st di R sehingga u1u2.st=1.Ini berarti a~c.Dengan demikian maka relasi kesekawanan adalah relasi eqivalen.
2. misal (a,b)=d, maka d|a&d|b serta c|a & c|b maka c|d. misal (a,b)=c, maka d|c. menurut teorema, c~d.
3. misal A=(a)={ax|x taknol diR}.maka d(a) kurang dari samadengan d(ax),perhat d(a) kurangdari samadengan d(ab), ab di A. dengan d(a) minimal. sehingga d(1) kurang dari sama dengan d(1.a)=d(a). jika d(a)=d(ab), maka d(ab) minimal juga sehingga a=abx ,ada x di R.ini berarti bx=1. jadi b unit. sehingga d(1)=d(a), maka 1=ax. jadi a unit.
4. r(n)=r(n-2)-[(q(n-1)r(n-1)], r(n-1)=r(n-3)-[q(n-2)r(n-2)
= r(n-2)-[q(n-1)(r(n-3)-[q(n-2)r(n-2)]]
jika ini dilanjutkan sampai r = b – q0a. maka akan didapatkan r(n) = sa+tb.
menurut teorema r(n)=(a,b).
5. Misal u unit dalam U, maka ada r di R sehingga ur =1 di U.ambil sebarang r di R & 1 di U maka 1.r = r ada di U. jadi R bagian dari U. maka U=R.
6. misalkan A= {u| u unit dalam R}. adit A suatu grup abelian.
a. A takkosong sebab ada 1 di R sehingga 1.1=1 unsur di A.
b. Ambil sebarang u1,u2 di A adit u1u2 di A. perhatikan : u1,u2 di A, maka ada r1,r2 di A sehingga u1r1=1=u2r2 .perhat:u1u2(r1r2) = u1r1.u2r3=1, ini berarti u1u2 di A.
c. A komutatif mengikuti R.
d. Ambil sebarang u1 di A, adit t adalah invers dari u1 di A. perhat: u1 unit di R,maka ada r di R sehingga u1r = 1 = ru1. ini berarti r =t.
Jadi A grup abelian.
7. Ambil sebarang a&b unsur di R. dibentuk (a) & (b). perhat: (a) iris (b) takkosong.misal (a) iris (b) adalah (g). adit g KPK dari a & b.(g) bagian dari (a) & (g) bagian dari (b). maka g di (a) & g di (b). maka g = ax & g = by, ada x,y di R. jadi a|g & b|g. berikutnya, misalkan a|m & b|m, dibentuk (m). m=ar1 & m=br2.ada r1,r2 di R.jika p di (m), maka p = md1= ar1.d1=a(r1d1) ,(m) bagian dari (a). q di (m), maka q= md2=br2d2=b(r2d2), (m) bagian dari (b). jadi (m) bagian dari {(a) iris (b)}=(g).maka m=gc,ada c di R. jadi g|m.Inin berarti g KPK dari a & b.
8. Ambil sebarang a,b di R. a&b taknol.
jika (a,b)=1, & [a,b]= ka, ada k di R. maka b|ka, karena (a,b)=1, maka haruslah b|k. maka b=kr1, ada r1 di R.=> ak=abr1.jadi ab|ak. Ini berarti [a,b]=ab. tetapi ak=[a,b], maka ab~ak.jadi salah satu dari [a,b]=ab=ab/(a,b).
Jika (a,b)=d, d b taknol, maka d=sa+tb, ada s,t di R.sehingga 1=sa/d + tb/d. sehingga (a/d,b/d)=1. jadi [a/d,b/d]=(a/d)(b/d), sehingga [a,b]=(ab/d)=ab/(a,b).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar