problem homomorfisma and ideal topic in algebra struktur aljabar II

Oleh La Ode Arbiki

1.if F is a field, prove its only ideals are (0) and F itself.
2.Prove that any homomorphism of a field is either an isomorphism or takes each element into 0.
3.[R:U] = {x at R | rx at U, for all r at R}, prove that [R:U] is an ideal R and it contains U.
4.If R comutative ring , & a element R,
a. prove that aR={ar|r di R}is a ideal two-sides ideal of R.
b. show by example that this may be false if R is not comutative.
5.If U,V is deal of R, let U+V={u+v|u di U & v di V}, prove that U+V is also ideal.
6.If R adalah ring & a element R. let r(a) = {x element R| ax=0}, prove that r(a) rihgt-ideal of R
7.If R ring & L right ideal of R, let y(L) = {x element of R| xa=0 for all a element of L}, prove that y(L)is two-sided ideal of R.
Indonesian fersion :
1.Jika F lapangan, maka idealnya hanya (0) dan F sendiri.
2.Tunjukan bahwa sebarang homomorfisma dari lapangan adalah isomorfisma atau memetakan tiap anggotanya ke 0.
3.[R:U] = {x unsur di R | rx unsur di U, untuk setiap r di R}, tunjukanlah bahwa [R:U] ideal dari R dan memuat U.
4.jika R ring komutatif, & a unsur di R,
a. Tunjukan bahwa aR={ar|r di R}adalah ideal dua sisi dari R.
b. Tunjukan bahwa ini salah jika R tak komutatif.
5.JIka U,V adalah ideal dari R, misal U+V={u+v|u di U & v di V}, tunjukan bahwa U+V juga ideal.
6.Jika R adalah ring & a unsur di R. misal r(a) = {x unsur di R| ax=0}, tunjukan bahwa r(a) ideal kanan dari R.
7.jika R ring & L ideal kanan dari R, misal y(L) = {x unsur di R| xa=0 untuk setiap a di L}, tunjukan bahwa y(L) adalah ideal dua pihak dari R.
Jawab



1. Dapat ditunjukan bahwa (0) & F ideal dari F.
Misal U sebarang ideal dari R, maka U bagian dari F & uantuk setiap a di U & f di f, maka af & fa di U. karena F lapangan, maka ada f1 = invers perkalian dari a di F sehingga a.f1=1 unsur di U.karena itu, untuk setiap f di F,maka f di U. jadi F bagian dari U, dengan demikian U=F.Karena U sebarang & a taknol di R, maka hanya ada (0) dan F.
2..d : F---------> R homomorfisma. misal I(d)= K, karena F lapangan, maka K=(0) atau K=F.Jika K=(0), maka d isomorfisma.Jika K=F, maka d memetakan tiap anggotanya ke 0.
3. ambil sebarang a di [R:U] & t di R. adit at & ta di [R:U]. Untuk itu harus ditunjukan bahwa y(at) & y(ta) di U untuk setiap y di R, Perhatikan bahwa : y(ta)=(ya)t unsur di U, at di [R:U]& y(ta) di U.
4.aR={ar|r di R}, a di R.
a. perhatikan bahwa ar takkosong sebab ada 0 di R sehingga a.0=0 di aR
b.ambil sebarang x=ar1 & y=ar2 unsur di R. adit x+y di R.
perhat: x+y = ar1+ar2=a(r1+r2), karena r1+r2 di R, maka x+y di aR.
c.Ambil sebarang ar di aR. adir –(ar) di aR. perhat : -(ar)=a(-r). adit a(-r)=-(ar).
perhat: ar+(a(-r)=a(r+(-r))=a.0=0, karena 0 di R, & R ring, maka –(ar)=a(-r).
jadi R grup terhadap(+).
d.ambil sebarang ar1 unsur di aR. perhatikan : ar1.r=a(r1r)=ar2,ada r2 di R ini berarti usnur di R. karena R ring komutatif, maka aR ideal dari R.
5.a. U+V takkosong sebab ada 0 di U & 0 di V sehingga 0+0=0 di U+V.
b. Ambil sebarang x=u1+v1 & y= u1+v2 di U+V. adit x+y di U+V.perhatikan bahwa x+y=(u1+v1)+(u2+v2)=(u1+u2)+(v1+v2)=u3+v3, ada v3 di V & u3 di U.karena itu x+y di U+V.
c. ambil sebarang x=u1+v1 di U+V. pilih –u1di U &(-v1) di V sehingga –u1+(-v1) di U+V. adit –(u1+v1)=-u1+(-v1). perhatikan bahwa (u1+v1)+(-u1+(-v1))=(u1-u1)+(v1-v1)=0.
d. Ambil sebarng r di R & u+v di U+V. adit r(u+v) & (u+v)r di U+V. perhat: r(u+v)=ru+rv & (u+v)r=ur+vr, U & V ideal, maka r(u+v) & (u+v)r di U+V.
Ini berarti U+V ideal dari R.
6.a.r(a) tidakkosong sebab ada 0 di R sehingga a0=0di r(a)
b.ambil sebarang p,q di r(a). adit p+q di r(a). untuk itu harus ditunjukan bahwa a(p+q)=0.Perhat: a(p+q)=ap+aq=0+0=0. jadi p+q di r(a).
c.Ambil sebarang p di r(a). adit –p di r(a).untuk itu harus ditunjukan bahwa a.(-p)=0.perhatikan: a(-p)=-(ap)=-0=0. Ini menunjukan bahwa –p di r(a).
d. Ambil sebarang p di r(a) & r di R.adit pr di r(a). perhat : a(pr)=(ap)r=0.r=0. Ini menujukan bahwa r(a) ideal kanan dari R.
7. y(L) = {x unsur di R| xa=0 untuk setiap a di L}
a. y(L) takkosong, sebab ada 0 di R sehingga untuk setiap a di L, 0.a=0 di y(L) .
b.ambil sebarang p,q unsur di y(L). adit p+q di y(L) .Untuk itu harus ditunjukan bahwa untuk setiap a di L, (p+q)a=0.Ambil sebarang a di L, adit (p+q)a=0. Perhatikan (p+q)a= pa+qa= 0+0=0. ini berarti p+q di y(L).
c.ambil sebarang p di y(L), adit –p di y(L). untuk itu harus ditunjukan bahwa –p.a=0. perhatikan: -p.a=-(pa)=-1.0=0.Jadi –p di y(L).
d.Ambil sebarang p di y(L) & r di R. adit pr & rp di y(L).untuk itu harus ditunjukan bahwa untuk setiap a di L, maka (pr)a=0=a(pr).perhatikan : (rp)a=r(pa)=r.0=0 & (pr)a=p(ra)=px, ada x =ra di L, ini berarti pa=0 sehingga (pr)a=0.Ini menunjukan bahwa y(L) ideal dari R.