pengulasan teori grup struktur aljabar

Oleh La Ode Arbiki

TEORI GRUP

Mengawali bab ini, kita kembali menengok ke belakang pada bab sebelumnya. Misalkan S himpunan yang tak kosong, kita definisikan A(S) himpunan semua pemetaan satu-satu dari S pada S. Untuk sebarang f,g di A(S) kita kenakan operasi perkalian fog yaitu komposisi dari fungsi f dan g. Berdasarkan penyelidikan, kita telah peroleh fakta berikut.
1. Jika f,g elemen A(S), maka fog juga dalam A(S). Fakta ini mengatakan bahwa dengan operasi komposisi fungsi, A(S) bersifat tertutup.
2. Untuk sebarang tiga unsur f,g,h element A(S), berlaku fo(goh) = (fog)oh. Fakta ini mengatakan bahwa operasi komposisi dalam A(S) memenuhi sifat asosiatif.
3. Terdapat idS unsur yang sangat khas dalam A(S) yang memenuhi, idSof = f = foidS untuk setiap f elemen A(S). idS ini disebut unsur identitas untuk A(S) relatif terhadap operasi komposisi dalam A(S).

4. Untuk setiap f di A(S), terdapat unsur
juga dalam A(S) sedemikian sehingga

Fakta ini menunjukkan bahwa setiap unsur dalam A(S) memiliki invers yang juga dalam A(S).


Berdasarkan penyelidikan di A(S) khususnya apabila S mempunyai 3 unsur atau lebih, maka dapat kita temukan unsur-unsur f dan g dalam A(S) sedemikian sehingga fog tidaksama dengan gof. Kita akan mengatakan bahwa A(S) tidak komutatif. Jadi untuk mengatakan suatu himpunan tidak komutatif, maka cukup diperikasa. Jika ada satu yang tepat kita dapatkan tidak memenuhi aturan, maka kita bisa katakan himpunan tersebut tidak memenuhinya.
Fakta-fakta yang dapat kita peroleh dalam A(S) sebagaimana dikemukakan di atas merupakan salah satu contoh yang mengilhami adanya konsep grup seperti disajikan pada Definisi 1.1 berikut.
Untuk kebutuhan defenisi grup, kita akan defenisikan terlebih dahulu apa itu operasi biner. Pada bilangan, kita mengenal penjumlahan,perkalian,pembagian,pangkat dan sebagainya, disebut operasi hitung pada bilangan. Operasi hitung pada bilangan kita namakan operasi biner.
Defenisi : Jika suatu himpunan S takkosong & T=SXS, opersi biner pada S adalah pemetaan d:T----> S. Disini jelas bahwa opersi biner adalah suatu pemetaan.artinya bahwa suatu operasi dapat dikatakn operasi biner jika dua buah unsur dalam suatu himpunan dioperasikan maka akan menghasilkan unsur lain yang juga ada dalam himpunan tersebut & tunggal. Akhirnya kita akan membuat sebuah aturan bagaimana suatu himpunan bisa dinamakan grup.
1.1. DEFINISI. Suatu himpunan G yang tak kosong dikatakan membentuk grup, jika dalam G dapat didefinisikan suatu operasi biner, yang dinamakan operasi perkalian, ditulis “.” sedemikian sehingga :
(1). a.b elemen G, untuk setiap a,b elemen G
(2). a.(b.c) = (a.b).c, untuk semua a,b,c elemen G
(3). Terdapat unsur e elemen G sedemikian sehingga a.e = e.a = a, untuk setiap a di G
(4). Untuk setiap a elemen G, terdapat
elemen G sedemikian sehingga
Dalam hal ini, operasi perkalian yang dimaksud bukan berarti operasi perkalian secara khusus pada bilangan, akan tetapi ini berlaku secara umum tergantung pada himpunan yang diberikan.
Pada (1) kita namakan bahwa G tertutup terhadap operasi perkalian. Pada (2) kita namakan bahwa G bersifat asosiatif terhadap operasi perkalian, artinya bahwa G tidak memperhatikan pengelompokkan. Pada (3) kita akan namakan bahwa e adalah unsur identitas dalam G. Jadi G harus memiliki identitas ini. Pada (4) kita akan artikan bahwa semua unsur dalam G memiliki invers yang juga ada dalam G, terhadap operasi yang diberikan.
Selanjutnya, suatu grup G dikatakan Abelian (Komutatif), jika untuk setiap a,b elemen G berlaku a.b = b.a. Dalam arti yang lain bahwa G tidak memperhatikan urutan, terserah mana yang akan didahulukan untuk menempati urutan pertama. Grup yang tidak komutatif disebut Grup Non-Abelian.
Setelah memperhatikan Definisi 1.1, maka secara mudah kita dapat menyimpulkan bahwa A(S) dengan operasi komposisi di dalamnya seperti dikemukakan di atas (sebelum Definisi 1.1) merupakan grup, meskipun bukan grup Abelian. Jika S himpunan hingga dan memiliki n unsur, maka grup A(S) akan disimbol dengan
Hal lain yang menjadi karakteristik suatu grup adalah jumlah unsurnya. Jumlah unsur dari suatu grup G, disimbol o(G), dan disebut orde dari G. Tentu saja, jika kita ingin membicarakan ciri ini, maka hanya akan menarik apabila o(G) hingga (finite). Grup G yang o(G) hingga, disebut grup hingga.
1.2. CONTOH-CONTOH :
Kita mulai dengen melihat contoh pada bilangan bulat, karena ini akan menjadi sesuatu yang bermanfaat bagi kita.
(a). Misalkan G himpunan bilangan bulat, dan kita artikan operasi biner a.b untuk a,b elemen G adalah penjumlahan pada bilangan bulat, yaitu a.b = a + b. Maka segera dapat ditunjukkan bahwa G bersifat tertutup dengan operasi ini, karena hasil penjumlahan dua bilangan bulat juga merupakan bilangan bulat. Demikian juga sifat asosiatif dengan operasi ini pada bilangan bulat, jelas dipenuhi. Selanjutnya, yang berperan sebagai e dalam G adalah 0 karena untuk setiap aG, berlaku a + 0 = a = 0 + a, dan setiap unsur aG mempunyai a-1 = -a juga unsur dalam G. pada contoh ini, bilangan bulat secara alami membentuk grup tanpa dibuktikan bahwa untuk semua unsur dalam G tertutup dengan operasi (+),
(b). misalkan G adalah himpunan bilangan real tanpa 0. secara sama bahwa G membentuk grup.
(c). Misalkan G = {1,-1} dibawah operasi perkalian pada bilangan real. Perhatikan Tabel berikut:

Berdasarkan Tabel di atas dapat dilihat bahwa G bersifat tertutup, dapat ditunjukkan bahwa operasinya memenuhi sifat asosiatif ( diperiksa semuanya), unsur identitasnya adalah e = 1. Selanjutnya,
Lebih dari itu, dapat juga ditunjukkan bahwa G membentuk grup komutatif dengan o(G) = 2.
(d) Misalkan
dengan operasi perkalian matriks dalam G, Buktikan bahwa G membentuk grup. ( Jadi G adalah himpunan matiriks ordo 2x2 yang entri-entrinya bilangan real yang memenuhi ad-bc tidasamadengan 0 ).
Jawab :
Untuk membuktikan ini, langkah pertama adalah kita harus tahu apa tujuan kita. Dalam memenuhi tujuan itu, apa yang harus pertama kita lakukan. Kemudian kita berusaha untuk mengetahui trik untuk mendapatkan solusinya. Menurut defenisi grup, ada 4 hal yang harus dipenuhi agar suatu himpunan takkosong membentuk suatu grup. Pertama bersifat tertutup terhadap operasi yang diberikan, kedua bersifat asosiatif, memiliki unsur identitas, dan semua unsurnya punya invers yang juga ada didalam himpunan tersebut.
Sebaiknya dalam kita membuktikan suatu himpunan membentuk grup, harus mengikuti kata-kata dalam defenisi grup.Untuk itu, perhatikan langkah-langkah dibawah ini dan bandingkan dengen kata-kata dalam defenisi grup.
1.Ambil sebarang
elemen G, karena itu, maka haruslah ad – bc tidaksama dengen 0 dan wz – xy tidak sama dengan 0. akan ditunjukan bahwa A.B unsur di G. Sekarang, perhatikan bahwa

Jelas, entri-entri matriks pada ruas kanan adalah bilangan-bilangan real. Kemudian,
(aw + by)(cx + dz) – (cw + dy)(ax + bz) = (ad – bc)(wz – xy) tidak sama dengan 0.
Ini menunjukkan bahwa, AB unsur di G.
2.Ambil sebarang unsur dalam G,akan ditunjukan A(BC)= (AB)C. perhatikan :
Jadi G tidak memperhatikan pengelompokkan.
3. perhatikan bahwa
adalah unsur G, karena 1(1) – 0(0) = 1 tidak samadengan 0, akan ditunjukan bahwa I merupakan unsur (matriks) identitas dalam G terhadap operasi perkalian matriks. Ambil sebarang unsur dalam G. adit A.I=I.A=A. perhatikan bahwa :
jadi I adalah unsur identitas dalam G.
4.mbil sebarang
maka ad – bc tidaksama dengan 0. Sekarang pandang matriks


yang dibangun dari A. Matriks D ini merupakan unsur dalam G, karena semua entrinya unsur dalam bilangan real, dan
Oleh karena AD = I = DA, maka berarti
Ini melengkapi pembuktian bahwa G sebuah grup.
Sekarang, pilih matriks-matriks
Ini merupakan suatu bukti bahwa G grup yang tidak komutatif (non-Abelian). Jadi untuk menunjukan G tidak komutatif cukup memilih salah satu yang tidak memenuhi. Dan dapat disimpulkan bahwa G tidak komutatif.
1.3. LEMMA. Jika G grup, maka
(a) Elemen identitas dari G adalah tunggal.
(b) Setiap a elemen G mempunyai invers tunggal dalam G
(c) Untuk setiap aelemen G, berlaku

(d) Untuk semua
BUKTI.
(a). Untuk membuktikan bagian ini ,cukup kita memisalkan e dan f keduanya unsur-unsur identitas dalam G. Pandang e sebagai unsur identitas dalam G dan f sebagai suatu unsur dalam G. Maka harus memenuhi f = ef. Sebaliknya, jika kita memandang f sebagai unsur identitas dalam G dan e sebagai suatu unsur dari G, maka juga kita memperoleh hubungan e = ef. Oleh karenanya kita peroleh e = f. Ini menunjukkan bahwa unsur identitas dalam G adalah tunggal. ( karena e dan f adalah unsur-unsur identitas, maka akan tampak bahwa ef = e = f, nah inilah yang mengharuskan ketunggalan identitas)
(b).Selanjutnya, misalkan a elemen G sebarang. Jika x dan y unsur-unsur dalam G yang keduanya merupakan invers dari a, maka berlaku ax = e = xa dan ay = e = ya. Oleh karena itu kita peroleh :
x = ex = (ay)x = (ya)x = y(ax) = ye = y ==> x = y
Ini membuktikan bahwa invers dari a tunggal.
Bagian (c) diperoleh dengan memperhatikan bahwa
Menurut bagian (b) di atas Yaitu ax = ay = e , maka disimpulkan bahwa
(d). untuk itu harus ditunjukan bahwa
1.4. LEMMA. Diberikan a,b elemen dalam grup G, maka persamaan ax = b dan ya = b mempunyai solusi tunggal untuk x dan y dalam G. Khususnya, hukum-hukum pencoretan
(1) au = aw mengakibatkan u = w; dan
(2) ua = wa mengakibatkan u = w.
berlaku dalam G.
BUKTI.
Utuk membuktikan teorema ini, langkah pertama harus kita tunjukan bahwa kedua persamaan tersebut punya solusi dan kemudian baru akan ditunjukan bahwa solusi tersebut tunggal. perhatikan bahwa
. Oleh karena itu solusi untuk x bagi persamaan ax = b adalah

Untuk membuktikan ketunggalan solusi ini, misalkan x1 juga solusi dari persamaan ax = b. Maka ax1 = b. harus ditunjukan bahwa


. Ini membuktikan ketunggalan solusi dari persamaan ax = b.

Selanjutnya, jika au = b = aw, maka kita dapat memandang u dan w sebagai solusi dari persamaan ax = b. Karena ketunggalan solusi dari persamaan ini, maka kita peroleh u = w. Ini membuktikan (1). Demikian juga, jika ua = b = wa maka kita dapat pula memandang u dan w sebagai solusi dari persamaan ya = b. Karena sifat ketunggalan solusi dari persamaan tersebut, maka disimpulkan bahwa u = w, yang melengkapi pembuktian untuk (2).
Dari sinilah lahir bahwa jika G grup, maka dalam G berlaku sifat pencoretan.
SOAL –SOAL LATIHAN
1.Berikut ini diberikan himpunan-himpunan G dengan mendefinisikan operasi di dalamnya. Periksalah, apakah setiap G dengan operasi tersebut membentuk grup. Jika tidak berikan alasan seperlunya.
a. G = himpunan semua bilangan bulat dengan operasi, ab = a – b.
b. G = himpunan bilangan bulat positif, dengan operasi perkalian biasa pada bilangan bulat.
Jawab
a. G = himpunan semua bilangan bulat dengan operasi, ab = a – b. kita bisa mengatakan bahwa operasi yang diberikan adalah pengurangan bilangan bulat. Hal pertama yang kita lakukan adalah memeriksa satu persatu apa yang terjadi dalam G dengan operasi yang diberikan apakah sesuai defenisi grup atau tidak. Jika kita menemukan kejanggalan dalam pemeriksaan, maka pembuktian bahwa G membentuk grup jangan dilakukan, cukup memberi suatu contoh kontra. Setelah diperiksa ternyata G tidak dapat membentuk grup, karena ada a=4,b=2,c=6 sehingga (a-b)-c = (4-2)-6 = -4 & a-(b-c) = 4-(2-6) = 8. tampak bahwa G tidak bersifat asosiatif.
b. pilih 2 bilangan bulat positif, perhatikan bahwa invers perkalian dari 2 adalah 1/2, tetapi 1/2 bukan unsur di Z positif. Ini melanggar defenisi poin 4. jadi G bukan grup.
2. Buktikan bahwa jika G suatu grup abelian, maka untuk semua a,bÎG dan semua bilangan bulat n, berlaku

anbn [Petunjuk: Gunakan prinsip Induksi Matematika].
Jawab
2. jika n lebih besar samadengan 0. n=0,

4. Tunjukkan bahwa jika setiap unsur dalam grup G merupakan invers dari dirinya sendiri, maka G abelian
Jawab
4.ambil sebarang p,q elemen G. adit pq=qp. Perhatikan bahwa

Jadi G komutatif.