pengulasan teori gelanggang (Ring theory) struktur aljabar

Oleh La Ode Arbiki

Ring theory ( teori gelanggang)
Pertama-tama kita akan membuat sebuah aturan tentang ring.
Defenition :
A nonempty set R is said to be an assosiative ring if in R there are defined two operations, denoted by + and . respectively, such that for all a,b,c in R :
1. a+b is in R
2. a+b = b+a.
3.(a+b)+c = a+(b+c)
4.There is an element 0 in R such that a+0=a (for every a in R)
5.There exists element –a in R such that a+(-a)=0.
6.a.b is in R.
7.a.(b.c)=(a.b).c
8.a.(b+c)=a.b + a.c and (b+c).a = b.a + c.a (the two distributive laws)
Axioms 1 throught 5 merely state that R is an abelian group under the operation +, which we call addition. Axiom 6 and 7 insist that R be closed under an associative operation ‘.’ Which we call mulplication. Axiom 3 serves to interrelate the two operations of R. whenever we speak of ring it will be understood we mean associative ring. Nonasociative rings, that is, those in which axiom 7 may fail to hold, do occur in mathematics and studies, but we shall have no occasion to consider them. It may very well happen, or not happen, that there is an element 1 in R suchthat a.1=1.a=a, for every a in R, if there is such we shall describe R as a ring with unit element. If the multiplication of R is such that a.b=b.a for every a,b in R, then we call R is a commutative ring. Before going on to work out some properties of rings, we pause to examine some examples. Motivated by these examples we shall define various special type of rings which are of importance.
Indonesian version:

Defenisi :
Sebuah himpunan takkosong R dikatakan ring (asosiatif) jika dalam R terdefenisi dua operasi yang disimbolkan + dan ‘.’, sehingga untuk setiap a,b di R memenuhi :
1. a+b di R
2. a+b = b+a.
3.(a+b)+c = a+(b+c)
4.ada unsur 0 dalam R sehingga a+0=a (untuk setiap a di R)
5.ada –a dalam R sehingga a+(-a)=0.
6.a.b ada di R.
7.a.(b.c)=(a.b).c
8.a.(b+c)=a.b + a.c dan (b+c).a = b.a + c.a (dua hukum distribusi)
Pada aksioma 1 samapi 5, mengatakan bahwa R membentuk grup komutatif terhadap operasi penjumlahan. Aksioma 6 dan 7 mengatakan bahwa R membentuk semi grup terhadap operasi perkalian. Aksioma 8 mengharuskan pada R berlaku hukum distribusi perkalian terhadap operasi perkalian. Operasi-operasi yang berlaku diatas masih bersifat umum artinya bahwa bisa saja ada sebuah ring yang membentuk grup komutatif terhadap operasi perkalian, namun tetap disimbolkan + dan semigrup terhadap opersi penjumlahan, namun masih disimbolkan dengan ‘.’, dan aksioma 8. Namun seringkali aksioma 8 tidak dapat dipenuhi, sebab tidak ada distribusi penjumlahan terhadap operasi perkalian. Keterurutan aksioma-aksioma diatas memberikan manfaat tersendiri. Aksioma 2 adalah sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan bermanfaat pada saat aksioma 4 dan 5. Kita akan mengatakan bahwa R merupakan gelanggang dengan unsur satuan jika ada 1 di R sehingga untuk setiap a di R, berlaku a.1=1.a = a. Jika untuk setiap a,b di R berlaku a.b=b.a, maka R dikatakan ring komutatif. Jika untuk setiap unsur taknol dari R memiliki invers yang juga di R terhadap operasi perkalian, serta memiliki unsur satuan dan komutatif maka R kita namakan lapangan.
Example 3.3.1. R is the set of integers, positive,negative, and 0; + is the usual addition and ‘.’ the usual multiplicatian of integers. R is a commutative ring with unit element.
Contoh 3.3.1. R himpunan bilangan bulat, positif, negatif dan nol. Dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan bulat, maka R membentuk ring komutatif dengan unsur satuan secara alami.
Kita tidak dapat membuktikan secara pasti bahwa himpunan bilangan bulat adalah ring dengan unsur satuan, tetapi dengan mempelajari keadaanya ini dapat dipenuhi.
Example 3.1.2. R is the set of even integers under the usual operationa of addition and multiplication. R is a commutative ring but has no unit element.
Contoh 3.1.2. R adalah himpunan bilangan bulat genap dibawah operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat. R membentuk ring komutatif tapi tidak punya unsur satuan.