PEUBAH ACAK

Pengertian Peubah Acak

Bidang statistika berurusan dengan penarikan
inferensi tentang populasi dan sifat populasi. Percobaan yang
dilakukan memberi hasil yang berkemungkinan. Pengujian sejumlah suku
cadang merupakan suatu contoh percobaan statistika, suatu istilah
yang memberikan setiap proses yang menghasilkan pengamatan yang
berkemungkinan. Sering sekali amat penting mengaitkan suatu bilangan
sebagai pmberian hasil tersebut. Sebagai contoh, ruang sampel yang
memberikan secara rinci setiap kemungkinan hasil bila tiga suku
cadang elektronik di uji dapat ditulis sebagai :

T = { BBB, BBC, BCB, BCC, CBC, CCB, CCC }

Bila B menyatakan ’baik’ dan C
menyatakan ’cacat’. Tentunya kita ingin mengetahui berapa
banyaknya cacat yang terjadi. Jadi setiap titik diruang sampel akan
dikaitkan dengan suatu bilangan 0, 1, 2, atau 3. Bilangan ini,
tentunya besaran acak yang ditentukan oleh hasil percobaan. Bilangan
ini dapat dipandang sebagai nilai yang dicapai oleh peubah acak X,
banyaknya barang yang cacat bila tiga suku cadang diuji.

Defenisi 1 : Peubah acak adalah suatu fungsi
yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang
sampel.

Peubah acak akan dinyatakan dengan huruf besar,
misalnya X, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil
padananya, misalnya x. Dalam contoh suku cadang elektronik tadi,
peubah acak X mendapat nilai 2 untuk semua unsur pada semua bagian

E = { CCB, CBC, BCC }

Dari ruang sampel T. Jadi, tiap kemungkinan nilai
X menggambarkan suatu kejadian yang merupakan ruang bagian dari ruang
sampel percobaan tersebut.

Contoh 1 :

Dua bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantong
berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola
merah yang diambil, maka nilai y yang mungkin dai peubah acak Y
adalah :

Ruang sampel

Contoh 2 :

Tiga orang petani : Pak Ali, Badu dan Cokro,
menitipkan pecinya dipagi hari pada seorang anak. Sore harinya si
anak mengembalikan peci tersebut secara acak pada ketiga petani. Bila
Pak Ali, Badu dan Cokro dalam urutan seperti itu menerima peci si
anak, maka tuliskanlah titik sampel untuk semua urutan yang mungkin
mendapatkan peci tersebut dan kemudian cari nilai c dari peubah acak
C yang menyatakan jumlah urutan yang cocok.

Jawab

Bila A, B, dan C, menyatakan masing-masing peci
Pak Ali, Badu dan Cokro maka susunan pengembalian peci yang mungkin
dan padanan yang cocok (c) adalah

Ruang sampel

ABC

ACB

BAC

BCA

CAB

CBA

Dalam kedua contoh di atas ruang sampel mengandug jumlah anggota yang
berhingga. Akan tetapi, bila satu dadu dilantunkan sampai angka 5
muncul, maka diperoleh ruang sampel dengan deretan anggota yang tak
berhingga.

T = { L, BL, BBL, BBBL, ......}

Dengan L menyatakan munculnya 5 dan B bukan 5 yang
muncul. Tetapi percobaan ini pun banyaknya unsur dapat disamakan
dengan seluruh bilangan bulat sehingga terdapat unsur pertama, kedua,
ketiga, dan seterusnya, jadi dapat dicacah.

Defenisi 2 : jika suatu ruang sampel mengandung
titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya
sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu dinamakan ruang sampel
diskrit.

Hasil suatu percobaan statistika mungkin saja tak
berhingga ataupun tak terhitung. Contoh seperti itu, misalnya
penelitian mengenai jarak yang ditempuh bila suatu mobil merek
tertentu dengan 5 liter bensin. Bila dimisalkan jarak sebagai suatu
peubah yang diukur dengan suatu derajat ketelitian tertentu, maka
jelas bahwa kemungkinan jarak yang ditempuh dalam ruang sampel tak
berhingga banyaknya sehingga tidak mungkin disamakan dengan banyaknya
bilangan bulat. Begitupun, bila kita mencatat lamanya waktu yang
diperlukan oleh suatu reaksi kimia, maka sekali lagi selang waktu
yang dapat dibuat untuk ruang sampel banyaknya takberhingga dan tak
berhitung. Jadi terlihat sekarang suatu ruang sampel tidak selalu
diskrit.

Defensi 3 : bila ruang sampel mengandung titik
sampel yang takberhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada
sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu.

Suatu peubah acak dikatakan peubah acak diskrit
bila himpunan kemungkinan hasilnya terhitung. Karena kemungkinan
nilai Y pada contoh 1 adalah 0, 1, dan 2, dan kemungkinan nilai c
pada contoh 2 adalah 0, 1, 2, 3, maka Y dan C peubah acak diskrit.
Peubah acak yang memperoleh semua nilai pada skala kontinu disebut
peubah acak kontinu. Sering pula kemungkinan nilai suatu peubah acak
kontinu tepat sama dengan nilai pada ruang sampel kontinu. Hal ini
terjadi misalnya peubah acak menggambarkan jarak tempuh suatu mobil
merek tertentu pada suatu uji jalan menggunakan 5 liter bensin.

Dalam kebanyakan persoalan praktis, peubah acak
kontinu menyatakan data yang diukur, seperti seluruh kemungkinan
tinggi, berat, temperatur, jarak atau jangka hidup, sedangkan peubah
acak diskrit menggambarkan data cacah, seperti banyak barang yang
cacat dalam sampel sebesar k barang atau banyak korban meninggal
disuatu jalan raya pertahun. Perhatikan bahwa peubah Y dan C pada
contoh 1 dan contoh 2 menyatakan data cacah, Y menyatakan banyak bola
merah, sedangkan C menyatakan banyaknya padanan topi yang cocok yang
diberikan oleh anak berturut-turut kepada Pak Ali, Badu dan Cokro.

Distribusi peluang diskrit

Suatu peubah acak diskrit mendapat setiap nilainya
dengan peluang tertentu. Dalam kasus melantunkan suatu mata uang tiga
kali, peubah acak X yang menyatakan banyaknya muka yang muncul,
mendapat nilai 2 dengan peluang 3/8, karena 3 dari 8 hasil yang
berkemungkinan sama memberikan dua muka dan satu belakang. Bila
kejadian sederhana pada contoh 2 diberi bobot sama, maka peluang
bahwa tidak ada petani yang menerima kembali topinya yang benar,
yaitu peluang bahwa C mendapat nilai 0, adalah 1/3. kemungkinan dari
c dari C peluangnya, diberikan oleh :

Perhatikan bahwa c mencapai semua kemungkinan nilai sehingga
peluangnya berjumlah 1.

Sering lebih mudah bila semua peluang suatu peubah
acak X dinyatakan dalam suatu rumus. Rumus seperti itu tentunya
merupakan suatu fungsi nilai numerik x yang akan dinyatakan dengan
f(x), g(x), r(x), dan seterusnya. Jadi ditulis f(x) = P(X=x); yaitu
f(3) = P(X=3). Himpunan pasangan terurut (x,f(x)) disebut fungsi
peluang atau distribusi peluang peubah acak diskrit X.

Defenisi 4 : Himpunan pasangan terurut (x,f(x))
merupakan suatu fungsi peluang atau distribusi peluang peubah acak
dskrit X bila untuk setiap kemungkinan hasil x :

1. f(x) 
0,

2.
,

3. P(X=x) = f (x).

Contoh 3 :

Suatu pengiriman 8 computer PC yang sama kesuatu toko mengandung 3
yang cacat. Bila suatu sekolah membeli dua
komputer ini secara acak, maka cari distribusi peluang banyaknya yang
cacat.

Jawab

Misalkan X peubah acak dengan nilai x kemungkinan banyaknya komputer
yang cacat yang dibeli sekolah tersebut. Maka x dapat memperoleh
setiap nilai 0, 1, dan 2. Sekarang,

f(0) = P(X=0) =

f(1) = P(X=1) =

f(2) = P(X=2) =

Jadi distribusi peluang X adalah :

Contoh 4 :

Bila 50% mobil dijual oleh agen bermesin diesel,
cari rumus distribusi peluang banyaknya mobil bermesin diesel bagi ke
4 mobil berikutnya yang dijual oleh agen tersebut.

Jawab

Karena peluang menjual mobil bermesin diesel atau
bensin 0,5 ke 2⁴ = 16 titik pada ruang sampel mempunyai
peluang yang sama. Jadi, pembagi untuk semua peluang, dan juga untuk
fungsi peluang adalah 16. untuk mencari banyaknya cara untuk menjual
3 mobil bermesin diesel, diperlukan banyaknya cara membagi 4 hasil
menjadi dua bagian dengan 3 mobil bermesin diesel pada suatu bagian
dan bermesin bensin untuk yang lainnya. Ini dapat dibuatu dalam
=
4 cara. Umumnya, kejadian menjual x mobil bermesin diesel dan 4-x
bermesin bensin dapat terjadi dalam
cara,
x bernilai 0, 1, 2, 3, atau 4. jadi distribusi peluang f(x) = P(X=x)
adalah f(x) =

untuk x = 0, 1, 2, 3, 4.

Dalam banyak soal diperlukan menghitung peluang
bahwa nilai amatan peubah acak X akan lebih kecil atau sama dengan
suatu bilangan real x.

Bila F(x) = P(Xx)
untuk setiap bilangan real x, namakan F(x) sebagai distribusi
komulatif / tumpukan peubah acak X.

Defenisi 5 : Distribusi komulatif F(x) suatu peubah acak diskrit X
dengan distribusi peluang x dinyatakan oleh :

Untuk peubah acak C jumlah pasangan yang benar di contoh 2 adalah :

Distrubutif komulatif C diberikan oleh

F(c) =

Perlu diperhatikan secara khusus bahwa distribusi komulatif tidak
hanya didefenisikan pada nilai yang ducapai oleh peubah acak, tetapi
pada semua bilangan real.

Contoh 5 :

Hitunglah distribusi komulatif peubah acak X dalam contoh 4. Dengan
menggunakan F(x), perlihatkan bahwa f(2) = 3/8.

Jawab

Dengan menghitung langsung distribusi peluang pada contoh 4 diperoleh
f(0) = 1/6, f(1) = ¼, f(2) = 3/8, f(3) = ¼, f(4) =
1/16. Jadi

F(0) = f(0) = 1/6

F(1) = f(0) + f(1) = 5/16

F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 11/16

F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 15/16

F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1.

Sehingga

F(x) =

Sekarang f(2) = F(2) – F(1) =
.

Sering menolong bila distribusi peluang
digambarkan dalam bentuk grafik. Titik (x,f(x)), dalam contoh 4 dapat
digambarkan seperti dibawah ini. Bila semua titik itu dan sumbu x
dihubungkan dengan garis putus-putus atau garis tebal, maka diperoleh
apa yang disebut diagram batang atau balok. Gambar ini memperlihatkan
dengan jelas nilai X yang paling besar kemungkinannya terjadi, dan
dalam kasus ini menunjukan bentuk yang setangkup sempurna.

Gambar diagram balok.

Orang lebih sering menggambarkan persegi panjang
seperti pada gambar dibawah ini pada saat menggambarkan titik
(x,f(x)). Persegi panjang ini dibuat sedemikian rupa sehingga alasnya
yang sama panjang mempunyai titik tengah tiap nilai x dan tingginya
sama dengan peluang yang sesuai yang diberikan f(x). Alasnya dibuat
sedemikian sehingga sisi dua persegi panjang yang berdampingan
bersatu. Gambar ini disebut histogram.

Karena lebar tiap alasnya dengan satu pada gambar maka P(X=x)
menyatakan luas persegi panjang yang titik tengahnya x. Kendati lebar
alasnya tidak satu, tinggi persegi panjang masih dapat diatur
sehingga luasnya masih sama dengan peluang X mendapat nilai x. Konsep
penggunaan luas untuk menyatakan peluang diperlukan dalam pembahasan
distribusi pekuang peubah acak yang kontinu.

Gambar histogram peluang

Gambar distribusi komulatif pada contoh 5 yang
merupakan fungsi tangga pada gambar berikut ini diperoleh dengan
menggambarkan sejumlah titik (x,f(x)). Suatu
distribusi peluang dapat menggambarkan lebih dari satu distribusi
peristiwa. Distribusi peluang pada contoh 4 misalnya, juga berlaku
untuk peubah acak Y, bila Y menyatakan banyaknya muka yang muncul
bila satu mata uang dilantunkan 4 kali, atau untuk peubah acak W,
bila W menyatakan banyaknya kartu merah yang muncul bila empat kartu
diambil secara acak dari suatu kotak kartu bridge secara berturutan,
tiap kartu dikembalikan dulu lalu dikocok kembali, baru kartu
berikutnya di ambil.

Distribusi komulatif diskrit

Ditribusi peluang kontinu

Suatu peubah acak kontinu mempunyai peluang nol
pada setiap titik x. Karena itu, istribusi peluangnya tak mungkin
disajikan dalam bentuk tabel. Hal ini mungkin mengejutkan pada
permulaan, tetapi akan mudah dipahami dengan contoh berikut.
Pandanglah suatu peubah acak yang nilainya menyatakan tinggi badan
semua orang diatas 21 tahun. Diantara dua sebarang nilai misalnya,
163,5 dan 164,5 cm ataupu antara 163,99 dan 164,01 cm terdapat tinggi
yang tak berhingga banyaknya, salah satu diantaranya adalah 164cm.
Peluang memilih secara acak seorang yang tingginya tepat 164cm tidak
kurang atau lebih sedikitpun juga, tentunya sangatlah kecil dan
karena itu peluang kejadian tersebut diberi nilai nol. Namun lain
halnya bila yang ditanya peluang memilih seseorang yang tingginya
paling sedikit 163 cm tetapi tidak lebih dari 165 cm. Sekarang yang
dipandang adalah nilai suatu selang dan bukan nilai suatu titik dari
peubah acak.

Selanjutnya kita akan mempelajari perhitungan
peluang untuk berbagai selang dari peubah acak kontinu seperti
P(a<Xb),
P(W>c), dan seterusnya. Perhatikan bahwa nilai X kontinu

P(a<Xb)
= P(a<X<b) + P(X=b) = P(a<x<b)

Yaitu, tidaklah menjadi masalah apakah titik ujung selang
diikutsertakan atau tidak. Hal ini tidak benar tentunya bila X
diskrit.

Kendati distribusi peluang peubah acak kontinu
tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel, mungkin dapat disajikan
dalam bentuk rumus. Rumus seperti itu tentunya merupakan fungsi dari
nilai yang berbentuk bilangan dari peubah acak kontinu X dan karena
itu akan dinyatakan dengan lambang fungsi f(x). Jika menyangkut
peubah yang kontinu, f(x) dinamakan fungsi padat peluang dari X.

Karena X didefenisikan pada ruang sampel yang
kontinu, mungkin saja f(x) tidak kotinu pada beberapa titik yang
terhingga banyaknya. Akan tetapi, kebanyakan fungsi padat yang
mempunyai penggunaan praktis dalam analisis data statistika bersifat
kontinu dan grafiknya dibeberapa diantaranya, dapat dibentuk salah
satu dari bentuk pada gambar berikut. Karena peluang akan dinyatakan
sebagai luas dan peluang merupakan bilangan positif maka fungsi padat
haruslah seluruhnya terletak diatas sumbu x.

Fungsi padat peluang dituliskan sedemikian
sehingga luas daerah, diantara kurfa dan sumbu x yang dihitunga atas
semua rentangan harga X pada daerah f(x) terdefenisi, adalah 1. kalau
seluruh nilai X terletak pada selang berhingga, selalu mungkin
memperluas selang tersebut sehingga mencangkup seluruh himpunan
bilangan real dengan mendefenisikan f(x) sama dengan nol pada semua
titik pada selang perluasan tadi. Pada gambar berikutnya setelah
gambar dibawah ini peluang X mempunyai nilai antara a dan b sama
dengan luas daerah yang dihitamkan dibawah fungsi padat antara absis
x = a, dan x = b. Menurut kalkulus integral luas ini dinyatakan
dengan P(a<x<b) =
.

Gambar bentuk khas fungsi padat

Defenisi 6 : Fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak
kontinu X, yang didefenisikan diatas himpunan semua bilangan real R,
bila

f(x)

0 untuk setiap x

R
=
1
P(a<x<b) =

Gambar P(a<x<b)

Contoh 6 :

Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam ⁰C,
pada percobaan laboratorium yang dikontrol merupakan peubah acak X
yang mempunyai fungsi padat peluang

f(x) =

Tunjukan bahwa syarat 2 defenisi 6 dipenuhi
Hitung P ( 0 < x

1)

Jawab

b. P ( 0 < x

1) =

Defenisi 7 : Distribusi komulatif F(x) suatu peubah acak kontinu X
dengan fungsi padat f(x) diberikan oleh

F(x) = Pembelajaran(Xx)
=

Sebagai akibat langsung defenisi 7 ini dapat ditulis kedua hasil
berikut :

P(a<x<b) = F(a) – F(b)

Dan f(x) =

bila turunan fungsi ini ada.

Contoh 7 :

Carilah F(x) dari fungsi padat pada contoh 6 dan
kemudian hitunglah P(0<x1)

Jawab

Untuk -1 < x <2,

F(x) =

Jadi F(x) =

Distribusi tumpukan F(x) dalam bentuk grafik
disajikan pada gambar dibawah ini. Sekarang P(0<x1)
= F(1) – F(0) =

yang sesuai dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan fungsi
padat dicontoh 6.