subgrup

Oleh La Ode Arbiki

soallatihan subgrup

1. Jika H dan K subgrup-subgrup dari G, tunjukkan bahwa H iris K juga merupakan subgrup dari G.
2. Jika H subgrup dari G, dan a elemen G, Misalkan

, maka tunjukkanlah bahwa ia merupakan subgrup dari G.
3. Daftarkan semua koset kanan dari H dalam G dimana
G = (a) suatu grup siklik orde 10 dan

4. Jika H suatu subgrup dari G, maka Pemusatan H adalah C(H),
yaitu himpunan {x elemen G|xh = hx, untuk semua hH}. Buktikan bahwa C(H) merupakan subgrup dari G.
5. Jika H subgrup dari grup G, maka HH = H.

jawab


1. a. H iris K takkosong sebab ada e elemen H dan e elemen K sehingga e elemen H iris K.
b. Ambil sebarang a,b elemen H iris K. Akan ditunjukan ab elemen H iris K.
Perhatikan bahwa : a,b elemen H iris K , maka a,b elemen H dan a,b elemen K. Kerana H dan K grup, maka ab elemen H dan ab elemen K. Ini menunjukan bahwa ab elemen H iris K.
c. Ambil sebarang a elemen H iris K. Adit invers dari a elemen H iris K.
Perhatikan bahwa : a elemen H iris K , maka a elemen H dan a elemen K. Karena H dan K grup, maka invers dari a elemen H dan elemen K. Karena itu invers dari a elemen H iris K.
Ini berarti H iris K subgrup dari G.


4 a. C(H) takkosong, sebab ada e elemen G sehingga eh=h=he, e elemen C(H).
b. ambil sebarang a,b elemen C(H). Adit ab elemen C(H). Untuk itu harus ditunjukan bahwa abh = hab, untuk setiap h elemen H.
Perhatikan bahwa : untuk setiap h elemen H, maka ah . b = ha . b dan a.bh = a. hb.
Ini berarti untuk setiap h elemen H, maka abh = hab.
c. ambil sebarang a elemen C(H). Adit invers dari a elemen C(H).untuk itu harus ditunjukan bahwa
untuk setiap h elemen H.
Perhatikan : a elemen C(H), maka ah=ha, untuk setiap h elemen H.

5.(==>) ambil sebarang y = ab elemen HH dengan a,b elemen H. Adit y elemen H.
Karena a,b di H dan H grup, maka ab = y elemen H. Jadi HH bagian dari H.
(<==) ambil sebarang a elemen H. Adit a elemen HH. Perhatikian bahwa H grup, maka e elemen H. Sehingga a = ae elemen HH. Jadi H bagian dari HH. Ini berarti H = HH.