SUBGRUP

Oleh La Ode Arbiki

DEFINISI. Suatu subhimpunan tak kosong H dari G dikatakan subgrup dari G, jika dengan operasi yang sama dengan operasi dalam G, H membentuk grup.

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan bahwa H dikatakan subgroup dari G
1. H subhimpunan dari G dan tidak kosong
2. H membentuk grup dengan operasi yang sama dengan G

Jelas !!! meskipun H bagian dari G dan membentuk grup, tetapi dengan operasi yang berbeda dengan G, misalkan dalam G operasi penjulahan dan H operasi perkalian, maka H bukan subgroup dari G.


LEMMA. Suatu subhimpunan tak kosong H dari G merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika
(1). ab elemen H, untuk semua a,b elemen H
(2). jika a elemen H, maka
BUKTI.
(==>)H subgroup dari G, maka H subhimpunan takkosong dari G . menurut defenisi H membentuk grup dengan operasi yang sama dengan G. dengan demikian H memenuhi (1) dan (2)
(<==) anggaplah syarat.(1) dan.(2) berlaku dalam H. Untuk menunjukkan bahwa H membentuk grup dengan operasi dalam G, maka kita harus dapat menunjukkan dua syarat lagi yaitu bahwa
1.Dalam H berlaku sifat asosiatif
2.Adanya unsur identitas dalam H.
Sifat asosiatif, jelas dipenuhi, karena H merupakan subhimpunan dari G. Sementara itu untuk membuktikan adanya unsur identitas, perhatikan bahwa
Misalkan a di H, maka dan
. Karena.(1) yaitu H tertutup, maka e di H. Ini melengkapi pembuktian bahwa H membentuk grup. Jadi H merupakan subgrup dari G.

Lebih lanjut dalam membuktikan bahwa suatu H subhimpunan dari G adalah subgroup dari G kita cukup menggunakan langkah-langkah :
1. H tidak kosong ( biasanya kita akan melirik e sebagai salah satu unsur dalam H, agar jelas bahwa e di H )
2. Untuk setiap a,b di H maka ab di H ( H tertutup dengan operasi yang diberikan )
3. Untuk setiap a di H, maka
CONTOH.
Misalkan G grup bilangan bulat dibawah operasi penjumlahan, H subhimpunan dari G yaitu himpunan semua bilangan bulat kelipatan 3, yaitu H = {3n  n bilangan bulat}.buktikan bahwa H subgroup dari G.
1. H tidak kosong , karena ada 0 = 3(0) di G, yang berarti 0 di H.
2. Ambil sebarang a,b di H, misalkan a = 3n1 dan b = 3n2 untuk suatu n1, n2 bilangan bulat. Perhat : a + b = 3n1 + 3n2 = (n1 + n1 + n1) + (n2 + n2 + n2) = (n1 + n2) + (n1 + n2) +(n1 + n2) = 3(n1 + n2) , karena n1 + n2 bilangan bulat, maka a + b di H. Dengan demikian H dengan operasi dalam G bersifat tertutup.
3. Ambil sebarang a = 3n1 di H. akan ditunjukan bahwa –a di H. perhat : -n1 adalah invers dari n1 di G. jelas 3(-n1) di H. adit –a = 3(-n1).
Perhat : -a = -(3n1) = - (n1 + n1 + n1) = (-n1) + (-n1) + (-n1) = 3(-n1) di H.
Jadi H subgroup dari G. ( cukup !!!!!)
LEMMA. Jika H subhimpunan hingga dari grup G, dan H tertutup dibawah operasi dalam G, maka H merupakan subgrup dari G.
Pada saat ini kita akan mengatakan bahwa untuk setiap H subhimpunan hingga dari grup G yang tertutup terhadap operasi dalam G, maka dipastikan H subgroup dari G.
BUKTI.
Seperti pada langkah diatas,
1. H tidak kosong sudah terpenuhi.
2. H tertutup dengan operasi dalam G sudah terpenuhi.
3. Tinggal kita menunjukan bahwa untuk setiap a di H maka invers dari a di H.
Jadi untuk membuktikan lemma ini, kita cukup membuktikan bahwa jika membuktikan bahwa jika a di H, maka invers dari a di H. Untuk keperluan ini, ambil a elemen H sebarang. Karena H tertutup, maka
Akan tetapi, H himpunan berhingga, oleh karena itu mesti terdapat r > s > 0 sedemikian sehingga
Perhatikan pernyataan diatas !!!, karena H berhingga dan H tertutup, maka pasti ada unsure yang sama dari hasil perkalian berulang a. ( hayalkan !!!!) benarkah ??? mungkin saja aaa = aa, atau yang lain. Lanjut r > s > 0 maka r – s – 1  0 yaitu pasti r-s-1>0 atau r-s-1 = 0. pada saat ini, maka invers dari a di H.