Bilangan kompleks

Oleh La Ode Arbiki

BILANGAN KOMPLEKS
Didalam bab ini, kita akan menyelidiki struktur aljabar dan geometri dari sistim bilangan kompleks. Kita anggap bahwa berbagai sifat yang berhubungan dengan bilangan real sudah diketahui.
1. Penjumlahan dan perkalian
Bilangan kompleks dapat didefinisikan melalui pasangan terurut (x,y) dari bilangan real yang dinterprestasikan melalui bidang ompleks, dengan koordinat empat persegi panjang x dan y. Bilangan x dapat digambarkan melalui titik (x,0) pada axis real. Dari sini terlihat bahwa himpunan bilangan real termuat dalam himpunan bilangan kompleks. Bilangan kompleks yang berbentuk (0,y) berhubungan dengan titik y axis dan disebut bilangan imajiner murni. Axis y disebut juga axis imajiner.


Bilangan kompleks (x,y) biasanya dinotasikan dengan z, sehingga
(1.1) z = (x,y)
Bilangan real x dan y masing-masing merupakan bagian real dan bagian imajiner dari z; dan ditulis
(1.2) Re z = x, Imz = y
Dua bilangan kompleks z1 = (x1,y1) dan z2 = (x2,y2) dikatakan sama apabila mempunyai bagian real dan bagian imajiner yang sama. Jadi z1 = z2 jika dan hanya jika merupakan titik yang sama dibidang kompleks atau dibidang z.
Penjumlahan z1 + z2 dan perkalian z1z2 dari dua bilangan kompleks z1 =(x1,y1) dan z2 = (x2,y2) didefinisikan sebagai berikut :
(1.3) (x1,y1) + (x2,y2) = (x1+x2,y1+y2)
(1.4) (x1,y1)(x2,y2) = (x1x2-y1y2,y1x2+x1y2)
Sebagai catatan, bahwa operasi yang didefinisikan pada (3) dan (4) berasal dari operasi penjumlahan dan perkalian yang dibatasi pada bilangan real :
(x1,0) + (x2,0) = (x1+x2,0)
(x1,0)(x2,0) = (x1x2,0)
Dari uraian di atas menunjukkan bahwa sistim bilangan kompleks merupakan perluasan dari sistim bilangan real.