Trik Berjudi dalam Matematika

Beben dan fadilosh melakukan judi suatu permainan kartu sebagai berikut. Dari sebuah dek tumpukan kartu, beben memberikan 5 buah kartu yang terletak paling atas kepada memed dan meminta ia untuk mengocoknya. Setelah kedua mata fadilosh ditutup, memed diminta untuk membuka ke 5 kartu tadi dan menjajarkannya di meja. beben melihat sepintas terhadap kartu-kartu tadi, kemudian ke 5 kartu tadi kembali di tutup.

Sekarang fadilosh diperbolehkan untuk membuka kembali matanya. beben membuka 2 buah kartu yang ada di meja. Dengan tindakan beben tersebut, fadilosh bisa menyebutkan apa di balik ketiga sisa kartu yang tertutup beserta letaknya dengan tepat. Bagaimana fadilosh dan beben melakukannya?

Trik ini merupakan campuran antara trik kartu dan matematika. Pertanyaan pertama, benarkah ke 5 kartu yang diberikan kepada memed diambil secara acak? Not really! beben dan fadilosh terlebih dahulu menyepakati bahwa apapun nanti kartu yang di ambil memed merupakan suatu set dengan 5 kartu yang unik, artinya jika fadilosh diberitahu satu kartu diantara 5 kartu tersebut, ia mengetahui warna/angka keempat kartu sisanya. Trik kartunya terletak pada kepiawaian beben untuk mengocok kartu sehingga memed merasa 5 kartu yang diambilnya benar benar acak.

Nah sekarang bagian trik matematikanya. Karena kelima kartu tersebut bersama-sama diketahui oleh beben dan fadilosh maka mereka bisa menyepakati urutan kartu tersebut. Sebagai contoh, misalnya kelima kartu tersebut masing-masing adalah
A ♥, A♠, 5 ♥, J♣, K ♥

beben dan fadilosh telah sepakat bahwa urutan kartu di atas adalah 5 ♥A ♥J♣A♠K ♥ yang bisa kita baca sebagai "sajak". Trik matematika dari permainan ini berlandaskan pada teorema berikut

Diantara barisan yang terdiri dari 5 buah bilangan pastilah ada subbarisan yang terdiri dari tiga bilangan yang monoton naik atau monoton turun

Buktinya?? Silahkan anda buktikan sendiri .



Karena kartu-kartu tersebut mempunyai urutan, untuk memudahkan kita bisa asumsikan bahwa mereka adalah A ♥,2♥,3♥,4♥,5♥.
Misalkan setelah dikocok, memed membukanya di meja sebagai A ♥, 5♥, 3♥,4♥, 2♥. beben segera melihat bahwa 5,4,2 (atau 5, 3, 2) merupakan subbarisan yang turun. Misalkan beben memutuskan untuk menggunakan subbarisan 5, 4, 2. Ketika semua kartu di tutup kembali dan fadilosh dipersilahkan melihat kemeja, beben satu persatu membuka kartu 3 kemudian A sehingga yang dilihat oleh fadilosh adalah
A ♥, [ ], 3♥, [ ], [ ]

fadilosh mengetahui bahwa kartu yang menutup adalah 2, 4, 5, tapi bagaimana ia bisa mengetahui letak masing-masing kartu dengan tepat? Mudah! beben dan fadilosh sepakat bahwa kartu yang tertutup akan merupakan barisan yang naik atau turun, dan urutan ketika beben membuka kartu memberitahu fadilosh apakah barisannya naik atau turun. Jadi ketika beben membuka 3 terlebih dahulu dan kemudian 1 (As), fadilosh tahu bahwa kartu yang tertutup merupakan barisan menurun (sesuai dengan urutan 3 kemudian 1). Dengan demikian fadilosh mengetahui secara persis bahwa kartu yang tertutup ada dalam urutan 5♥, 4♥, 2♥.

Kembali ke kartu semula, beben berturut-turut membuka J♣ dan A♥ sehingga yang terlihat adalah [ ], J♣ , [ ], [ ], A♥. Nah skrg coba cari di mana letak kartu K ♥ ?
__________________
Mari baca, coba, pelajari, dan ajarkan
Diposting oleh Ade Chandra Prayogi, S.Pd di 12:43 0 komentar Link ke posting ini
Kamis, Desember 13, 2007
MAINAN PENINGGALAN PHYTAGORAS
Semasa kecil, Pythagoras pernah menyusun kerikil dalam bentuk segi-tiga dengan jumlah kerikil yang berbeda namun berurutan:

1 = 1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Dengan menjumlah 2 angka yang bersebelahan akan ditemukan hasil suatu bilangan yang dikuadratkan:

1 + 3 = 4 (2 x 2)
3 + 6 = 9 (3 x 3)
6 + 10 = 16 (4 x 4)
10 + 15 = 25 (5 x 5)

“Mainan” ini ternyata memicu terjadinya rumus Pythagoras yang terkenal:
a² + b² = c². Seorang guru memberi tebakan “mainan” ini kepada Galileo sehingga akhirnya Galileo tertarik untuk menekuni matematika, sebagai alat untuk menjelaskan alam semesta (kosmologi).

Menyajikan Matematika Secara Kreatif
Pernah ada pertanyaan yang ditujukan buat saya. Kurang lebihnya pertanyaan itu begini, “Bagaimana sih cara mengajarkan matematika yang menarik itu?”.

Bagi saya pertanyaan tersebut tidaklah mudah untuk dijawab. Sebabnya, saya sendiri bukanlah orang yang sudah berpengalaman di dunia ajar-mengajar matematika. Mulanya saya berfikir bahwa pertanyaan tersebut cocoknya ditanyakan ke guru matematika yang sudah malang-melintang di dunia ajar-mengajar, yang sudah banyak makan asam-garam di bidangnya. Mulanya juga saya fikir pertanyaan tadi salah alamat bila ditanyakan ke saya.

Tapi bila difikir lebih jauh, tak ada salahnya juga bila saya menjawab pertanyaan tersebut. Perkara benar atau tidaknya itu urusan nanti. Perkara disetujui atau tidak, itu terserah bagi si penanya. Perkara menarik atau tidaknya itu perlu praktik, perlu dicobakan di kelas yang sesungguhnya. Kewajiban saya hanyalah menjawab pertanyaan tersebut. Toh ini kan masalah sosial yang sangat mungkin untuk diperdebatkan, siapapun bisa menjawab asalkan punya dasar dan argumen yang logis, siapapun bisa bicara sesuai kaidah keilmuannya dan sesuai kadar pengetahuannya. Betul? Kata Gus Dur sih, “Gitu aja repot, ya dijawab saja.”

Atas dasar pemikiran itulah saya akan mencoba menjawab pertanyaan di atas tadi.

Saya fikir, agar mengajar matematika itu menarik, banyak hal penting yang perlu diperhatikan. Salah satunya adalah faktor kreativitas guru. Yakni kreativitas guru dalam menyampaikan materi atau kreativitas dalam hal menyajikan materi matematika pada murid-muridnya. Bila guru kreatif dalam cara mengajarnya, kemungkinan besar matematika yang diajarkannya itu akan menarik bagi siswa, tak lagi ditakuti apalagi dibenci. Oleh karena itu, berikut ini saya (coba) berikan sebuah contoh cara menghidangkan alias menyajikan matematika secara kreatif*, khusus untuk contoh ini cocoknya untuk siswa SMP (Sekolah Menengah Pertama).

Perhatikan barisan-barisan bilangan berikut:

(*) 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110.

(**) 1, 2, 4, 71, 142.

Dari dua barisan bilangan tersebut informasi-informasi apa saja yang bisa kita peroleh? Untuk itu, mari kita cermati tiap barisan tersebut.

Untuk barisan bilangan (*).

Beberapa informasi yang bisa kita peroleh misalnya seperti berikut ini.

(i) Jumlah barisan bilangan tersebut, berapa?

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22

11 + 20 + 22 + 44 = (11 + 44) + (20 + 22) = 55 + 42 = 97

55 + 110 = 165

Sehingga jumlah semua bilangan pada barisan (*) adalah:
22 + 97 + 165 = (20 +2) + 97 + (160 + 5)
22 + 97 + 165 = (20 + 160) + (2+97) + 5
22 + 97 + 165 =180 + 99 + 5
22 + 97 + 165 =180 + 104
22 + 97 + 165 = 284
Nah, asyik bukan? Cara yang tertulis di sini sebenarnya adalah alur pikiran saya dalam melakukan proses penjumlahan. Anda pun bisa melakukannya sesuka alur pikiran Anda. Jadi, banyak sekali cara untuk melakukan penjumlahan bilangan-bilangan tersebut.

(ii) Untuk sementara waktu, bilangan 1 pada barisan (*) tidak kita pakai. Lalu coba pusatkan perhatian Anda dari tengah-tengah barisan bilangan (*) baru tersebut, yaitu:

2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110.

Sekarang perhatikan:

11 x 20 = 220

10 x 22 = 220

5 x 44 = 220

4 x 55 = 220

2 x 110 = 220

Menarik juga bukan? Kita pun masih bisa “mengutak-atik” proses perkalian bilangan-bilangan tersebut. Misal kita ambil contoh 5 x 44. Uraiannya bisa seperti berikut ini.

5 x 44 = 5 x ( 40 + 4) = 5 x 40 + 5 x 4 = 200 + 20 = 220.

Tak hanya itu, 5 x 44 juga bisa diuraikan seperti berikut ini.

5 x 44 = 5 x ( 50 - 6) = 5 x 50 - 5 x 6 = 250 - 30 = 220.

Dan tentunya masih banyak cara yang lainnya.

Untuk perkalian bilangan-bilangan yang lainnya dapat dilakukan dengan proses yang serupa seperti yang sudah dilakukan oleh saya barusan.

Untuk barisan bilangan (**).

Beberapa informasi yang kita peroleh misalnya seperti berikut ini.

(iii) Jumlah barisan bilangan tersebut berapa?

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = (1 + 2 + 4) + (70 + 1) + (140 + 2) = 7 + 70 + 140 + 1 + 2 = 210 + 7 + 3 = 220.

(iv) Dengan proses serupa seperti pada (ii), maka diperoleh perkalian bilangan-bilangan berikut.

4 x 71 = 284

2 x 142 = 284

Nah kita juga bisa menguraikan perkalian-perkalian untuk bilangan-bilangan ini. Misalkan kita ambil 4 x 77, uraiannya seperti berikut.

4 x 71 selain bisa diuraikan sebagai 4 x ( 70 + 1 ) juga bisa kita uraikan sebagai 4 x 71 = 2 x 2 x 71 = 2 x 142, begitu juga sebaliknya. Makin menarik bukan? Semakin kita eksplorasi, makin banyak hal-hal lain yang bisa kita gali.

Sekarang, perhatikan bilangan-bilangan 220, 284 dan barisan-barisan bilangan (*) dan (**). Apa hubungannya? Bila kita jeli melihatnya, hubungan di antara mereka bukan hanya baik-baik saja, bukan hanya biasa-biasa saja, melainkan sangat akrab layaknya seorang sahabat, layaknya karib yang tak bisa dipisahkan oleh ruang dan waktu, bak sepasang kekasih yang sedang memadu cinta dilanda asmara. Saking istimewanya kedua bilangan tadi, dengan sifat-sifatnya tadi, mereka itu disebut sebagai bilangan-bilangan bersahabat (amicable numbers).

Jadi, bagaimana hubungan mereka?

Jadi begini, 220 dan 284 adalah sepasang bilangan bersahabat (amicable numbers) karena jumlah dari faktor-faktor* (sejati) bilangan pertama sama dengan bilangan kedua dan juga sebaliknya.

220: faktor-faktor(sejati)nya adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 (barisan *), jumlahnya 284.

284: faktor-faktor (sejati)nya adalah 1, 2, 4, 71, 142 (barisan **), jumlahnya 220.

Benar-benar “bersahabat” bukan?

Sekarang, silakan Anda cari pasangan-pasangan bilangan bersahabat lainnya. Bila menemukannya, jangan sungkan-sungkan untuk mendiskusikannya di sini, tentunya di kolom komentar.

Nah, begitu wahai pembaca. Dari sebuah pengertian tentang sepasang bilangan, kita bisa menyajikannya secara luas, secara kreatif. Tergantung maunya kita. Tergantung bagaimana kita memahaminya. Tergantung bagaimana kita mengupasnya. Itupun belum semuanya dianalisis. Bisa dibayangkan sampai berapa banyak tempat yang kita perlukan bila kita terus menganalisisnya.

Jadi, kreativitas kita selaku guru itu amat diperlukan dalam menyajikan sebuah materi. Dengan kreativitas, kita bisa menyajikan sebuah konsep biasa menjadi sesuatu hal yang luar biasa, dari hal sederhana menjadi hal yang istimewa. Jadinya kita tak hanya terpaku dan terbelenggu dengan buku-buku pelajaran yang ada, tak terkungkung bergantung dengan buku pelajaran yang kita pakai saja. Percayalah kita punya kemampuan untuk mengembangkan materi yang ada, dengan kemampuan kita, dengan kreativitas kita.

Lalu bagaimana caranya agar kreativitas kita itu bertambah? Sebenernya ini juga bukanlah pertanyaan yang mudah dijawab. Saya sendiri perlu belajar lebih banyak agar bisa kreatif. Tapi setidaknya, agar kreativitas bertambah, tak lain dan tak bukan, kata yang sudah berpengalaman sih, syarat perlunya adalah dengan banyak membaca (buku, koran, majalah, alam, …, pokoknya yang bisa dibaca aja…) dan berdiskusi bila sempat, itu pun seringkali tidaklah cukup.

Selain faktor kreativitas guru, agar penyampaian matematika itu menarik, faktor apalagikah yang berpengaruh penting itu? Silakan Anda wahai pembaca saya undang untuk melengkapinya.

Ya sudah segitu dulu saja ya. Sampai jumpa di tulisan berikutnya.

Catatan:

*Apa faktor-faktor (sejati) itu? Untuk menjelaskannya, akan lebih mudah dengan contoh. Misalkan kita ambil sebuah bilangan, katakanlah kita pilih 6. Faktor-faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, dan 6; sebab 1 x 6 = 6 juga 2 x 3 = 6. Sedangkan faktor-faktor (sejati) dari 6 itu adalah 1, 2, dan 3 saja. Jadi, faktor-faktor (sejati) dari suatu bilangan adalah faktor-faktor bilangan itu yang bukan bilangan itu sendiri.