soal Ujian struktur aljabar II
19 juni 2008
Ideal maksimal dan ring euklid
1.Diberikan D daerah integral, misalkan U={(x,y)|x,y unsur di D,y taknol},& [x,y]={(a,b)unsur di M | xb=ya}. Jika F={[x,y]|(x,y) unsur di M }& didefenisikan [x1,y1]=[x2,y2]<=>x1y2=x2y1, untuk setiap [x1,y1],[x2,y2] unsur di F, maka tunjukanlah pengaitan d : ([p,q],[r,s]) |---> [pr,qs], untuk setiap ([p,q],[r,s]) unsur di FXF,
suatu pemetaan dari FXF kedalam F(well defined)
2.Diberika R ring komutatif dengan unsur satuan, dan U idel dari R. tujukan bahwa U memuat suatu unit dari R jika dan hanya jika U=R.
3.Misal R ring euklid, buktikan bahwa jika a unit dalam R, maka d(a)=d(1)
4.Misalkan R ring euklid. tunjukan bahwa jika a|bc & a relatif prima terhadap b, maka a|c.
5.Misalkan R ring euklid, a,b,c unsur di R. Jika M=(m), ideal maksimal dari R, maka tunjukanlah bahwa m unsur prima.
6.Misalkan J[i] = {a+bi|a,b unsur di Z} & didefenisikan d(a+bi) =
, untuk setiap a+ bi unsur di J[i]. Tunjukan bahwa :
a. d well devined
b. jika x,y unsur-unsur taknol di J[i], maka d(x) kurang dari sama dengan d(xy).
Jawab
1. D daerah integral,
d : FXF ---------> F
([p,q],[r,s]) |---> [pr,qs] , untuk setiap ([p,q],[r,s]) unsur di FXF,
akan ditunjukan d suatu pemetaan.
Ambila sebarang a = ( [x1,y1],[x2,y2] ), b = ( [m1,n1],[m2,n2] ) unsur di FXF, dengan a=b.adit d(a) = d(b).
Perhatikan : a=b <=>( [x1,y1],[x2,y2] ) = ( [m1,n1],[m2,n2] )
<=> [x1,y1] = [m1,n1] &[x2,y2] = [m2,n2]
<=> x1n1 = y1m1 & x2n2 = y2m2
=> x1n1x2n2 = y1m1x2n2 = y1m1y2m2
=> [x1x2,y1y2] = [m1m2,n1n2], D daerah integral.
d( [x1,y1],[x2,y2] ) = d( [m1,n1],[m2,n2] )
d(a) = d(b).
jadi d suatu pemetaan.
2. (=>) R ring komutatif dengan unsur satuan & U ideal dari R memuat unsur satuan. misalkan u unit dalam R dan u unsur di U, maka ada r unsur di R sehingga u.r = 1. karena U ideal dari R, maka u.r = 1 unsur di U. Ambil sebarang r unsur di R dan 1unsur di U. maka 1.r = r unsur di U. jadi R bagian dari U.& U bagian dari R. maka U = R.
(<=) R ring komutatif dengan unsur satuan & U ideal dari R,serta U=R. perhatikan bahwa 1.1=1,1 unit dalam R, karena U=R, maka 1 unit dalam U.
3. R ring euklid & a unit dalam R. secara unum d(a) kurang dari samadengan d(ab), b taknol unsur di R, karena itu d(1) kurang dari sama dengan d(1.a)= d(a).
Karena a unit, maka ada r unsur di R sehingga a.r=1.Jadi d(1)=d(ar), karena r taknol unsur di R (R daerah integral,jadi R takpunya pembagi nol), maka d(a) kurang dari sama dengan d(ar)=d(1). jadi d(a)=d(1).
4. R ring euklid & a,b,c unsur di R, a|bc & (a,b)=u, u suatu unit dalam R, jadi ada r unsur di R sehingga ar=1.karena itu, maka u=pa+qb, ada p,q unsur di R.sehingga ru=1=par+qbr, jadi c=parc+pbrc. karena a|bc maka a|pbcr & a|parc. dengan demikian, maka a|(parc + pbrc)=c.
5. R ring euklid & a,b,c unsur di R, M=(m) ideal maksimal dari R. Misalkan U=(u) sebarang ideal dari R,dengan M bagian U bagian R, maka U=M atau U=R.Andaikan m bukan unsur prima, maka m=uy, ada u atau y takpernah unit dalam R.adit M buka ideal maksimal.Untuk itu haruslah U tidaksama denga M & U tidaksama dengan R. Jika U=M, maka u=mx, ada x dalam R,& m=uy, sehingga u=mx=uyx. jadi xy=1.ini mengatakan bahwa y unit(suatu kontradiksi). Jika U=R, maka ada 1 dalam U sehingga 1=uw, ada w dalam R, ini berarti u unit dalam R(suatu kontradiksi). Untuk itu haruslah u unsur prima dalam R.
6. a. d:J[i] -------> Z
(a+bi) |------> a2 + b2, untuk setiap a+bi unsur di J[i]. adit d suatu pemetaan.
Ambil sebarang x = (a+bi),y = (c+di) unsur di J[i], dengan x=y. adit d(x)=d(y).perhatikan bahwa x=y <=> (a+bi)=(c+di)<=>a=c&b=c. dengan demikian d(x)=d(a+bi)=
= d(c+di)=d(y).Jadi d pemetaan.
b. x,y unsur taknol dalam J[i], misal x = (a+bi),y = (c+di) unsur taknol di J[i],maka
lebih dari atau sama dengan 1
Tidak ada komentar:
Posting Komentar