soal ujian (Homomorfisma ring dan ideal) struktur aljabar II

Oleh La Ode Arbiki
19 april 2008
FKIP
UNHALU
KENDARI
1.Jika f suatu homomorfisma dari R kedalam R1, maka tunjukanlah bahwa f(-a)+f(-b) = -f(a+b).
2.Misalkan R dan R1 gelanggang & f homomorfisma dari R kedalam R1, Jika U kernel dari f, maka tunjukanlah bahwa r.a unsur dalam U, & a.r unsur dalam U, untuk setiap a unsur di U dan r unsur di R.
3.Misalkan R dan R1 ring dan f homomorfosma dari R pada R1. Tunjukan bahwa f merupakan isomorfisma jika dan hanya jika I(f) = (0).
4.Misalkan R ring & U ideal dari R, & misalkan R/U = {r+U ;r unsur di R}
didefenisikan (x+U,y+U) = xy + U. Tunjukan bahwa jika (a+U,b+U) = (c+U,d+U) memenuhi defenisi yaitu ab + U = cd + U.
5.Misalkan R & R1 ring dan f homomorfisma dari R pada R dengan kernel U. Jika W ideal dari R & W memuat U, maka tunjukanlah bahwa W1={y unsur di R1 ; y=f(x),x unsur di W},ideal dari R1.
6.Jika U ideal dari ring R, misalkan r(U) = {x unsur di R ; xu = 0,untuk senua u unsur di U},buktikan bahwa r(U) ideal dari R.
7.Misalkan R gelanggang bilangan bulat,tunjukan bahwa jika M=(p) ideal maksimal dari R, maka p bilangan prima.
Jawab


1.Untuk menunjukan bahwa f(-a)+f(-b) = -f(a+b), harus ditunjukan bahwa f(a+b) + [f(-a)+f(-b)] = 0.
perhat:
f(a+b) + [f(-a)+f(-b)] = f(a) + f(b) +[-f(a)+-f(b)]= f(a)-f(a)+f(b)-f(b)=0+0=0.
atau f(-a)+f(-b)=-f(a)+[-f(b)]=-(f(a)+f(b))=-(f(a+b))=-f(a+b).
2.Ambil sebarang a unsur di U dan r unsur di R, adit ar & ra unsur di U.
Untuk itu harus di tunjukan bahwabf(ar)=0 & f(ra)=0.
perhat: f(ar)=f(a).f(r)=0.f(r)=0 & f(ra)=f(r).f(a)=f(r).0=0
iani berarti ar & ra unsur di U.
3.(=>) misalkan R & R1 ring & f isomorfisma. adit I(f) = (0).
ambil sebarang a unsur di I(f) . adit a unsur di (0).yaitu a=0.
perhat : a unsur di I(f) , maka I(f) = 0 = f(0). karena f 1-1, maka a=0.
jadi a unsur di (0). I(f) bagian dari (0).
ambil 0 unsur di (0).karena f(0) = 0, maka 0 unsur di I(f). (0)bagian dari I(f) . jadi I(f) = (0).
(<=) R dan R1 ring, f homomorfisma & I(f) = (0).adit f isomorfisma. untuk itu cukup menunjukan bahwa f1-1.
ambil sebarang a,b unsur di R sehingga f(a)=f(b). adit a=b.
perhat: f(a)=f(b) maka f(a)-f(b)= 0
f(a)+f-(b)=0, f(a-b)=0. ini berarti a-b unsur di I(f)=(0), jadi a-b=0, <=> a=b.
jadi f isomorfisma.
4.(a+U,b+U) = (c+U,d+U) <=> a+U= c+U & b+U= d+U,
ini berarti a unsur di c+U & b unsur dalam d+U.
a=c+u1 ada u1 unsur di U & b=d+u2,ada u2 unsur di U.
a.b = (c+u1).( d+u2)= cd+u1d+cu2+u1u2 = cd + u3+u1u2, U ideal dari R dan ada u3=u1d+u2c, sehingga a.b=cd + uo , ada uo unsur di U.
ini berarti ab unsur di cd + U, dengan demikian ab + U = cd + U.
5.a. W1 tidak kosong sebab ada 0 unsur di W sehingga f(0) = 0 unsur di W1.
b. Ambil sebarang a,b unsur di W1,adit a+b unsur di W1.
perhat : a,b unsur di W1 maka ada c,d unsur di W suhingga f(c) = a & f(d)=b. pilih c+d unsur di W sehingga f(c+d) = f(c)+f(d) = a+b.
ini berarti a+b unsur di W1.
c. Ambil sebarang k unsur di W1. adit –k unsur di W1.
perhat: k unsur di W1, maka ada m unsur di W sehingga f(m)=k. pilih –m unsur di W sehingga f(-m) = -f(m)=-k. W1 subgrup dari R1.
d. Ambil sebarang a unsur di W1 & r1 unsur di R1. adit ar1 & r1a unsur di W1. perhat : a unsur di W1,maka ada m unsur di W sehingga f(m)=a.
karena f pada, maka ada r unsur di R sehingga f(r)=r1. untuk menunjukan ar1 & r1a unsur di W1, harus ditunjukan bahwa ada k & g unsur di W sehingga f(k)= ar1 & f(g)=r1a. Karena W ideal dari R, maka mr & rm unsur di W. sehingga f(mr)=f(m).f(r)=a.r1 & f(rm)=f(r).f(m)=r1.a.
pilihlah k=mr & g= rm.
6.a. r(U) tidak kosong sebab ada 0 unsur di R sehingga untuk setiap u unsur di U, 0.u = 0 unsur di U.
b. Ambil sebarang a,b unsur r(U), adit a+b unsur r(U). Untuk itu harus ditunjukan (a+b).u = 0, untuk setiap u unsur di U.
perhat: a unsur di r(U) => a.u = 0 untuk setiap u unsur di U.
b unsur di r(U) => b.u = 0 untuk setiap u unsur di U.
Ambil sebarang u unsur di U. maka (a+b).u = a.u + a.b = 0.0 =0.
jadi a+b unsur di r(U).
c. Ambil sebarang a unsur di r(U). adit –a unsur di r(U).
pilih –a unsur di R, sehingga –a.u = -(a.u) = -1.(a.u) = -1.0 = 0.
ini berarti –a unsur di r(U).
d. Ambil sebarang r unsur di R & a unsur di r(U). adit ar & ra unsur di r(U). untuk itu harus ditunjukan bahwa (ra).u = 0 = (ar).u, untuk setiap u unsur di U. perhat : (ra).u = a(au)=r.0=0
& (ar).u = a(ru), U ideal dari R, maka ru unsur di U, jadi (ar).u = 0.
Ini berarti r(U) ideal dari R.
7.Misal U =(u), sebarang ideal dari R=(1)=(-1) & M=(p) ideal maksimal dari R. adit p bilangan prima. Untuk itu harus ditunjukan bahwa p hanya memiliki faktor p & 1. Karena M=(p) ideal maksimal, M bagian dari U bagian dari R,maka U=M atau U=R.
Jika U=M, maka p=ux, ada x unsur di R. & u = py, ada y unsur di R.
jadi p = ux = (py).x =p(yx)= (yx).p . karena itu, yx=1. sehingga x=1 & p=u. jadi p=p.1. ini berarti p prima.
Jika U=R, maka memaksakan u=1, yaitu U=(1).& bukan u=-1 yaitu U=(-1) karena ini tidak memuat bilangan prima.