pengulasan beberapa kelas spesial dari gelanggang

Oleh La Ode Arbiki

Some Spesial Classes of Rings
Defenition: If R is a commutative ring, then a nonzero element of R is said to be a zero-divisor if there exists a b element R, b nonzero, such that ab=0.
Defenition : A commutative ring is an integral domain if it has no zero-divisors.
The ring of integers, naturally enough, is an example of an integral domain.
Defenition : A ring is said to be a division ring if its nonzero elements form a group under multiplication.
The unit element under multiplication will be written as 1.
Defenition : A field is a commutative division ring.
Lemma : if R is a ring, then for all a,b elements R
1. a0 = 0a = 0
2. a(-b) = (-a)b = -(ab)
3. (-a)(-b) = ab
If, in addition, R has a unit element 1, then
4. (-1)a = -a
5. (-1)(-1) = 1.
Proof :
1. If a element R, then a0 = a(0+0) = a0 + a0 ( using the right distributive law), and since R is a group under addition, this equation implies that a0=0.
Similarly, a0=(0+0)a = 0a+0a, using the left distribitive law, and so here too, 0a = 0 follows.
2. In order to show that a(-b)= -(ab) we must demonstrate that ab+a(-b)=0. but ab+a(-b)=a(b+(-b))=a0=0 by use of distributive law and the result of part 1 of this lemma. Similarly (-a)b=-(ab).
3. That (-a)(-b) = ab is really a special case of part 2; we single if it out since its analog in the case of real numbers has been so stressed in our early education. So on with it : (-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab))=ab.
4. suppose that R has a unit element 1; then a+(-1)a = 1a +(-1)a = (1+(-1))a =0a=0, whence (-1)a=-a. in particular, if a = -1, (-1)(-1)=-(-1)=1, which establishes part 5.
THE PIGEONHOLE PRINCIPLE : If n object are distributed over m places, and if n>m, then some place receives at least two objects.

Indonesian Version :
Beberapa kelas spesial dari gelanggang

Defenisi : Jika R ring komutatif, maka a buka unsur nol dalam R dikatakan pembagi nol jika ada unsur lain misalnya b di R, b taknol sehingga ab = 0.
Disini, b juga dikatakan pembagi nol.
Defenisi : Sebuah ring komutatif dinamakan daerah integral jika tidak punya pembagi nol.
Secara eqivalen, suatu ring komutatif R dikatakan daerah integral jika untuk setiap a dan b taknol di R sehingga ab=0, maka a=0 atau b=0.
Ring bilangan bulat secara alami merupakan contoh daerah integral.
Defenisi : Sebuah ring dikatakan gelanggang pembagian jika unsur-unsur taknolnya membentuk grup dibawah operasi perkalian.
Ini mengatakan bahwa gelanggang pembagian punya unsur satuan (1), dan setiap unsur taknolnya punya invers terhadap operasi perkalian.
Defenisi : sebuah lapangan adalah gelanggang pembagian komutatif.
Jadi lapangan adalah ring komutatif yang punya unsur satuan dan setiap unsur taknolnya punya invers terhadap operasi perkalian.
Lemma( teoema kecil) : Jika R ring, maka untuk setiap a,b di R
1. a0 = 0a = 0
2. a(-b) = (-a)b = -(ab)
3. (-a)(-b) = ab
Jika R punya unsur satuan (1), maka
4. (-1)a = -a
5. (-1)(-1) = 1.
Bukti :
1. 0 adalah unsur identitas terhadap operasi penjumlahan dalam R,
Jika a elemen R, maka 0 + a0 = a(0+0) = a0 + a0 (gunakan hukum distributiv kanan), R membentuk grup terhadap operasi penjumlahan, maka berlaku sifat pencoretan. sehingga a0=0.
Secara sama,0 + a0=(0+0)a = 0a+0a, gunakan hukum distributif kiri , dan juga, 0a = 0 mengikut.
2. Untuk menunjukan bahwa a(-b)= -(ab) [kita akan mengatakan bahwa ini adalah inversnya terhadap operasi penjumlahan], kita harus menunjukan bahwa ab+a(-b)=0. perhatikan bahwa : ab+a(-b)=a(b+(-b))=a0=0 (dengan hukum distributif), menurut defenisi, ini mengatakan bahwa (-a)b=-(ab).
(untuk a(-b)+ ab= 0, telah dipenuhi karena R grup komutatif terhadap operasi penjumlahan)
3. Untuk (-a)(-b) = ab kita dapat menggunakan bagian 2; jadi (-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab))=ab. Sebagai konsekuensinya –(-x)=x karena R grup.
4. perhatikan bahwa R punya 1; maka a+(-1)a = 1a +(-1)a = (1+(-1))a =0a=0, sehingga (-1)a=-a. dalam hal ini, jika a = -1, (-1)(-1)=-(-1)=1, yang membuktikan bagian 5.
PRINSIP PIGEONHOLE : Jika n obyek di distribusikan atau ditempatkan dalam m tempat, dan jika n>m, maka ada beberapa tempat yang diisi oleh dua unsur atau menerima dua unsur.
Suatu prinsip yang sangat membatu kita, ketika kita akan memikirkan tentang himpunan berhingga. Perhatikan lemma dibawah ini :
Lemma : A finite integral domain is a filed
Lemma : sebuah daerah integral berhingga adalah lapangan.
Lemma yang cukup unik. Jika dipikirkan, maka akan lebih memanfaatkan prinsip pigeonhole. Dan ini akan mengatakan bahwa setiap daerah integral berhingga D adalah lapangan. kita telah tahu bahwa daerah integral D adalah ring komutatif yang tidak punya pembagi nol. Nah untuk sampai kepada lapangan, maka harus ditunjukan bahwa :
Di D ada 1 sehingga untuk setiap a di D, maka 1.a=a.
Untuk setiap a taknol di D, maka ada b di D sehingga ab=1. kita katakan b invers perkalian dari a.
Proof:
Let x1,x2,……xn be all the elements of D, and suppose that a nonzero element D.consider the elements x1a,x2a,…xna; they are all in D. we claim that they are all distinct! For suppose that xia = xja, for i not equation with j. maka (xi-xj)a=0. since D is an integral domain and a nonzero, this force xi-xj=0, and so xi=xj. Contradiction i not equation with j. thus x1a,x2a……xna are n distinct element lying in D, which ha exactly n elements. By the pigeonhole principle these must account for all the elements of D; stated otherwise, every element y in D can be written as xia for some xi in D. in particular, since a in D, a=xioa for some xio in D. since D is commutative, a = xioa = axio. We propose to show that xio acts as a unit element for D and so yxio = (xia)xio = xi(axio)=xia = y. thus xio is a unit element for D and we write it as 1. now 1 in D, so by our previous argument, it too is realizable as a multple of a; that is, there exists a b in D such that 1=ba. The lemma is now completely proved.
Indonesian version :
Bukti :
Misalkan x1,x2,….xn unsur dalam D. dan ada a taknol di D. maka x1a,x2a,…..xna semuanya di D. kita akan menganggap bahwa semua itu bebeda. Kita tnjukan terlebih dahulu : ambil sebarang xi, xj (i berbeda dengan j)di D sehingga xia = xja,. adit xi=xj. Perhat : xia = xja ==> (xia- xja)=0 ==>(xi-xj)a=0 , karena D daerah integral, dan a taknol, maka haruslah xi-xj = 0. ini berarti xi=xj. (suatu kontradiksi). Jadi x1a,x2a,….xna saling berbeda dalam D. tetapi D terdiri dari n unsur, maka menurut prinsip pigeonhole, ada xia di D sehingga xioa =a.(salah satu dari x1a,x2a,….xna adalah a). karena D komutatif, maka xioa=a=axio. Kita akan mengatakan bahwa xio adalah unsur satuan di D. kita akan simbolkan dengan 1.(jadi untuk D berhingga pasti ada 1). Perhatikan bahwa 1 di D, maka pasti ada b di D sehingga ba = 1.kita akan katakan b invers perkalian dari a. selesai