Kamis, 17 Juli 2008

soal latihan ring euklid struktur aljabar II

Oleh La Ode Arbiki

soal latihan ring euklid
1.Dalam ring komutatif dengan unsur satuan, tunjukan bahwa relasi kesekawanan adalah relasi eqivalen.
2.dalam ring euklid tunjukan bahwa setiap dua pembagi sekutu terbesar dari a & b adalah sekawan.
3.tunjukan bahwa yang memaksakan a suatu unit dalam R adalah d(a)=d(1).
4.tunjukan bahwa dalam ring euklid (a,b) dapat diperoleh dari

5.Tunjukan bahwa jika U ideal dari Ring komutatif memuat unit dari R, maka U=R.
6.Tunjukan bahwa unit-unit dari Ring komutatif dengan unsur satuan membentuk grup abelian.
7.Diberikan dua unsur a&b dalam ring euklid R. kelipatan persekutuan terkecil c di R adalah a|c & b|c serta a|x & b|x, x di R, maka c|x.Tunjukan bahwa setiap dua unsur dalam R punya KPK dalam R.
8.R ring euklid, Jika KPK a & b disimbolkan [a,b], maka tunjukan bahwa [a,b]=ab/(a,b).
jawab


1. a ~a sebab ada 1 di R sehingga a=1.a, 1 unit dalam R karena 1.1=1
misal a~b, maka b=u.a, ini berarti ada r di R sehingga ur=1.jadi rb=ru.a=1.a=a.ini berarti b~a.
misal a~b dan b~c, maka b=u1a & c=u2b,maka ada s,t di R sehingga u1.s=1=u2.t,sehingga c=u2b=u2u1a,u2u1 suatu unit dalam R sebab ada st di R sehingga u1u2.st=1.Ini berarti a~c.Dengan demikian maka relasi kesekawanan adalah relasi eqivalen.
2. misal (a,b)=d, maka d|a&d|b serta c|a & c|b maka c|d. misal (a,b)=c, maka d|c. menurut teorema, c~d.
3. misal A=(a)={ax|x taknol diR}.maka d(a) kurang dari samadengan d(ax),perhat d(a) kurangdari samadengan d(ab), ab di A. dengan d(a) minimal. sehingga d(1) kurang dari sama dengan d(1.a)=d(a). jika d(a)=d(ab), maka d(ab) minimal juga sehingga a=abx ,ada x di R.ini berarti bx=1. jadi b unit. sehingga d(1)=d(a), maka 1=ax. jadi a unit.
4. r(n)=r(n-2)-[(q(n-1)r(n-1)], r(n-1)=r(n-3)-[q(n-2)r(n-2)
= r(n-2)-[q(n-1)(r(n-3)-[q(n-2)r(n-2)]]
jika ini dilanjutkan sampai r = b – q0a. maka akan didapatkan r(n) = sa+tb.
menurut teorema r(n)=(a,b).
5. Misal u unit dalam U, maka ada r di R sehingga ur =1 di U.ambil sebarang r di R & 1 di U maka 1.r = r ada di U. jadi R bagian dari U. maka U=R.
6. misalkan A= {u| u unit dalam R}. adit A suatu grup abelian.
a. A takkosong sebab ada 1 di R sehingga 1.1=1 unsur di A.
b. Ambil sebarang u1,u2 di A adit u1u2 di A. perhatikan : u1,u2 di A, maka ada r1,r2 di A sehingga u1r1=1=u2r2 .perhat:u1u2(r1r2) = u1r1.u2r3=1, ini berarti u1u2 di A.
c. A komutatif mengikuti R.
d. Ambil sebarang u1 di A, adit t adalah invers dari u1 di A. perhat: u1 unit di R,maka ada r di R sehingga u1r = 1 = ru1. ini berarti r =t.
Jadi A grup abelian.
7. Ambil sebarang a&b unsur di R. dibentuk (a) & (b). perhat: (a) iris (b) takkosong.misal (a) iris (b) adalah (g). adit g KPK dari a & b.(g) bagian dari (a) & (g) bagian dari (b). maka g di (a) & g di (b). maka g = ax & g = by, ada x,y di R. jadi a|g & b|g. berikutnya, misalkan a|m & b|m, dibentuk (m). m=ar1 & m=br2.ada r1,r2 di R.jika p di (m), maka p = md1= ar1.d1=a(r1d1) ,(m) bagian dari (a). q di (m), maka q= md2=br2d2=b(r2d2), (m) bagian dari (b). jadi (m) bagian dari {(a) iris (b)}=(g).maka m=gc,ada c di R. jadi g|m.Inin berarti g KPK dari a & b.
8. Ambil sebarang a,b di R. a&b taknol.
jika (a,b)=1, & [a,b]= ka, ada k di R. maka b|ka, karena (a,b)=1, maka haruslah b|k. maka b=kr1, ada r1 di R.=> ak=abr1.jadi ab|ak. Ini berarti [a,b]=ab. tetapi ak=[a,b], maka ab~ak.jadi salah satu dari [a,b]=ab=ab/(a,b).
Jika (a,b)=d, d b taknol, maka d=sa+tb, ada s,t di R.sehingga 1=sa/d + tb/d. sehingga (a/d,b/d)=1. jadi [a/d,b/d]=(a/d)(b/d), sehingga [a,b]=(ab/d)=ab/(a,b).



Tidak ada komentar:

Poskan Komentar